Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2

Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2 có nội dung trình bày phương trình vi phân cấp 2 - trường hợp giảm cấp, phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng, phương trình vi phân cấp 2 hệ số hàm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2 BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK ------------------------------------------------------------------------------------- TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN• BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 • TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006) NOÄI DUNG -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. TRÖÔØNG HÔÏPGIAÛM CAÁP2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁHAÈNG3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁHAØM GIAÛM CAÁP PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phöông trình vi phaân caáp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0  y = f ( x , y , y ) BT Coâsi: PT chuaån hoaù + ÑK   y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y1 ñaàu Giaûm caáp cô baûn: Phöông trình F(x, y’, y’’) = 0 Nguyeân taéc: Ñaët u(x) = ñaïo haøm caáp thaáp nhaát cuûa y , y y) = 0 ⇒ u ( x ) = y ( x ) ⇒ u ( x ) = y ( x ) : F ( x, u , u ) = 0 F ( x, aån yVD: Giaûi phöông trình vi phaân caáp y = + x cos x x2:Ñaùp soá: y = C1 x + C2 + sin x − x cos x 2Nghieäm toång quaùt PT vi phaân caáp 2 chöùa 2 haèng soáNghieäm PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TUYEÁN TÍNH CAÁP 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Heä soá haøm, k0 thuaàn nhaát (veá phaûi): y’’ + p(x)y’ + q(x)y= f(x)Ví xy + y sin x − e 2 x y = cos x + x sin x (1)duï:Tuyeán PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0tính Ví duï: Töông öùng xy + y sin x − e 2 x y = 0 ( 2)(linear): (1):y,y’,y’’ – PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + py’ + qy =baäc 1 Ví duï: Töông öùng y +3 y −4 y = 0 0 ( 4) (3):Heä soá haèng, k0 thuaàn nhaát (coù veá phaûi): y’’ + py’ + qy= f(x)Ví y +3 y −4 y = cos x + x sin x ( 3) GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH C2 THUAÀN NHAÁT HEÄ SOÁ HAÈNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- k1x k2 xPTVPC2 thuaàn ∆ > 0: k ≠ k ∈ R 2 nghieäm sôû , e 1 cô e 2nhaát heä soá ⇒y tq .tn =Ce 1 k1 x +C e 2 k2 xhaèng y’’ + py’ +qy = 0 ∆ = 0: k1 = k2 ∈ R 2 nghieäm sôûkx , xe kx cô ePTrình ñaëc tröng ⇒ ytq.tn = C1e kx + C2 xe kxk2 + pk + q = 0 2 nghieäm sôû cô (thöïc)Phaûi tìm ñuû 2 ∆ < 0: N0 eαx cos βx, eαx sin βx ⇒nghieäm phöông phöùc ∆ < 0 ⇒ ∆ = m 2i 2trình ñaëc tröng y = ...