Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Các dạng toán về KGVT

Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Các dạng toán về KGVT giới thiệu tới các bạn những dạng toán về xét xem v có là KGVT; xét xem W có là KGC; độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính; tổ hợp tuyến tính; cơ sở và số chiều của KGVT V; tọa độ của vectơ. Mời các bạn tham khảo.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Các dạng toán về KGVTBÀI4 (PHẦN1)Dạng1 XÉTXEMVCÓLÀKGVTPP:Dùngđịnhnghĩa (V,+,.) .x,y,zthuộctậphợpV .pthuộctrườngK .haiphéptoán(+,.) (V,+,.)làKGVTtrênKkhivàchỉkhi1.x+y=y+x2.x+(y+z)=(x+y)+z3.V:x+=x 0c 0 04.(x)V:(x)+x= c5.1.x=x6.p.(q.x)=(p.q).x7.(p+q).x=p.x+q.x8.p(x+y)=p.x+p.yVídụ1: (V,+,.) x,y C V,p C K x=(x1,x2,...,xn) ,y=(y1,y2,...,yn) x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn) p.x= (px1,px2,...,pxn) V= R CnK= C R CnR(V,+,.)=Cn (,C) Vídụ2: (,+,.) R2 làKGVT? (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1) p(x1,x2)=(px1,px2);pR CĐK1: x+y=y+x x+y= (1,2) Chọn: x=(0,1) ,y=(1,1) y+x= (2,1) x+y=y+x (,+,.) R2 khônglà KGVT Vídụ3: (,+,.) R2 làKGVT?(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) p(x1,x2)=(px1,x2);pR C Vậy:(p+q).x=p.x+q.x ĐK7: x=(1,2) ,p=3,q=4 (,+,.) R2(p+q)x=khônglà 7(1,2)=(7,2) px+qx=KGVT 3(1,2)+4(1,2)= (3,2)+(4,2)= (7,4) Dạng2 XÉTXEMWCÓLÀKGC PP1:DùngđịnhnghĩaTậpconWkhácrỗngcủakgvtVlàKGC aVớcủWv ihaiphéptoán(+)và(.)đượcđịnh khi: nghĩatrênVcũnglàmộtKGVTPP2:DùngđịnhlýTậpconWkhácrỗngcủakgvtVlàKGCcủaVkhithỏamộttrong2đksau: 1. x,y c W, mc K, °mx c W °x+y cW 2. mx+y c W Chúý Vvà{}làhai 0 KGCcủaKGVT V Vídụ1:CMR:WlàKGCcủaR3 W={x=(x1,x2,x3)/x1+x2+x3=0} CM: mc R, x,yc W mx+yc W mx+y= m (x1,x2,x3)+(y1,y2,y3) =(,, mx1+y1 mx2+y2 mx3+y3mx1+y1)+ mx2+y2+mx3+y3 = m(x1+x2+x3)+ (y1+y2+y3) = m.0 + 0 = 0 mx+yc W WlàKGCVídụ2:CMR:WkhônglàKGC củaR W={x=(x 1,x32,x3)/x1+x2+x3=1}1. x,yc W, mc K Chọn:x=(1,0,0) °mx c W y=(0,1,0) °x+y cW x+y= (1,1,0) xthu ộ c W ythuộcWx+y KhôngthuộcW WkhônglàKGCcủaR3BÀI4 (PHẦN2)PP:DùngđịnhlýTậpconWkhácrỗngcủakgvtVlàKGCcủaVkhithỏamộttrong2đksau: 1. x,y c W, mc K, °mx c W °x+y cW 2. mx+y c W Chúý Vvà{}làhai 0 KGCcủaKGVT VVídụ3:CMR:WlàKGCcủaR3 x1+x2 =0W={x=(x1,x2,x3)/} 2x1+3xx2 3=0 1 1 0 0 x1 +x2 =0A= x2x3 =0 2 3 1 0 d22d1 1 1 0 0 0 1 1 0x1 +x2 =0 x2x3 =0 x1=t x2=t x3=t (tR) C x1=t (tR) W={x=(t,t,t)/} C x2=t x=(t,t,t) c W y=(m,m,m) x3=t KCR ktm kt+m kt+m kx+y=(,,)Đặt:p=kt+m kx+y=(p,p,p) kx+yc W WlàKGCc ủa R3Vídụ4:CMR:NếuUvàWlàKGC c c U+W={x+y/xUvàyW} củaVthì: c c UW={x/xUvàxW} làKGCcủa VU+W mc R, u,vc U+W mu+vc U+Wu c U+W u=x+y, x c U,y c Wv c U+W v=z+t, z c U,t c Wmu+v=m(x+y)+(z+t) =(mx+my)+(z+t) =(mx+z)+(my+t) cU cW mu+vc U+W U+Wlà KGC u c UW u c Uvà u c W U UU v c UW v c Uvà v c W UW u c U U mu+vc UW U v c U là UW mu+vc U KGC u c W vc W mu+vc W Vídụ5:M={x1,x2,...,xn} V U ={y/ylàthttcủax1,x2,...,xn} CMR:làKGCcủaVCM: mc K, u,vc mu+vc nu c u= tixi i=1 nv c v= ...