Bài giảng Toán T1: Chương 5 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 5 trình bày về tích phân hàm một biến. Các nội dung cụ thể tróng chương này gồm có: Bài toán tính diện tích – Định nghĩa tích phân, định lý cơ bản của vi tích phân, nguyên hàm, đổi biến và tích phân từng phần – Tính tích phân, tích phân suy rộng loại I, tích phân suy rộng loại II,...và các nội dung khác. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 5 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 5 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 50 Nội dung 1 Tích phân Bài toán tính diện tích – Định nghĩa tích phân Định lý cơ bản của vi tích phân Nguyên hàm Đổi biến và tích phân từng phần – Tính tích phân 2 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy rộng loại II Các tiêu chuẩn hội tụ 3 Ứng dụng của tích phân Tính diện tích, thể tích vật thể tròn xoay, độ dài đường congHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 50 Bài toán tìm diện tíchHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 50Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 50 Thay vì lấy giá trị của f tại các đầu mút xi như trên, ta có thể chọn tại điểm bất kỳ xi∗ ∈ [xi−1 , xi ].Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 50 Định nghĩa tích phân Định nghĩa tích phân Cho f là hàm xác định trên [a, b], ta chia [a, b] thành n khoảng con với độ rộng ∆x = (b − a)/n. Gọi x0 (= a) < x1 < x2 < · · · < xn (= b) là các đầu mút của của các khoảng con đó. Trên mỗi khoảng con ta lấy xi∗ ∈ [xi−1 , xi ]. Thì tích phân (xác định) của f từ a tới b được định nghĩa là: Z b Xn f (x)dx = lim f (xi∗ )∆x a n→∞ i=1 nếu nó tồn tại. Nếu tích phân của f tồn tại, ta nói f khả tích.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 50 Ký hiệu dx chỉ nói lên rằng x là biến độc lập. Bản thân dx trong Z ký hiệu tíchZ phân khôngZmang nghĩa gì cả. Cho b b b nên: f (x)dx = f (u)du = f (t)dt = . . . a a aHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 50 Các tính chất của tích phân Z b kdx = k(b − a) với c là hằng số. Za a Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx; f (x)dx = 0 b a a Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó: Z b Z b Z b 1. [f (x) + kg (x)]dx = f (x)dx + k g (x)dx a a a 2. Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và [c, b]. Và khi đó: Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a cHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 50 Z b 3. Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0. a Suy ra nếu f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [a, b] thì Z b Z b f (x)dx ≥ g (x)dx a a Z Z b b 4. Hàm |f | khả tích và |f (x)|dx ≥ f (x)dx a a Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] hoặc chỉ gián đoạn (loại 1) tại một số hữu hạn các điểm, thì f khả tích trên [a, b] Như vậy các hàm sơ cấp đều khả tích.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 50 Định lý cơ bản của vi tích phân Định lý cơ bản của vi tích phân 1 Z x Cho f liên tục trên [a, b], đặt: F (x) = f (t)dt a (a ≤ x ≤ b). Thì F liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và F 0 (x) = f (x). Ví dụ: Tính đạo hàm của Z xp 1. F (x) = 1 + t 2 dt. 0 Z x4 dt 2. F (x) = . 1 2 + cos(e t )Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 50