Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 - TS. Lê Minh Hiếu

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 Phương trình vi phân cấp 1, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: một số khái niệm; phương trình có biến số phân ly; phương trình vi phân tuyến tính cấp; phương trình becnuli; phương trình vi phân toàn phần. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 - TS. Lê Minh Hiếu TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 7: Phương trình vi phân cấp 1 TS. Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2. PHƯƠNG TRÌNH CÓ BIẾN SỐ PHÂN LY 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 4. PHƯƠNG TRÌNH BECNULI 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 5.1 Phương pháp thừa số tích phân TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 2 / 25 Một số khái niệm Một số khái niệm Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F (x, y, y 0 ) = 0, trong đó: x là biến số độc lập, y là hàm số theo biến x (là hàm cần tìm), y 0 là đạo hàm của y theo biến x; Nghiệm tổng quát có dạng y = ϕ(x, c), c là hằng số bất kỳ, thỏa mãn phương trình đã cho. Có thể biểu diễn ở dạng ẩn Φ(x, y, c) = 0 và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp 1; Nghiệm riêng có dạng y = ϕ(x, c0 ), c0 là một hằng số cụ thể, được suy ra từ nghiệm tổng quát. Có thể biểu diễn ở dạng ẩn Φ(x, y, c0 ) = 0 và được gọi là tích phân riêng; Nghiệm kỳ dị là nghiệm không phải được suy ra từ nghiệm tổng quát (tức là nó không phải nghiệm riêng). TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 3 / 25 Một số khái niệm Ví dụ về phương trình vi phân cấp 1 Các phương trình sau đây là phương trình vi phân cấp 1:   x2 − 1 y 0 + 2xy 2 = 0 (1) q y 2 + 1dx = xydy (2) Chú ý: Trong phương trình (2) không xuất hiện y 0 , bởi vì nó đã được thay bởi dx và dy: (xem lại phần vi phân của hàm số 1 biến) dy dy = y 0 dx ⇔ y 0 = . dx TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 4 / 25 Phương trình có biến số phân ly Phương trình có biến số phân ly Dạng: f (y)dy = g(x)dx Giải: Tích phân hai vế phương trình đã cho Z Z f (y)dy = g(x)dx + C, C là hằng số bất kỳ. Ví dụ 2.1 a) xydx + (x + 1)dy = 0 b) y 0 = ex+y TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 5 / 25 Phương trình có biến số phân ly a) xydx + (x + 1)dy = 0 Giải. Viết lại phương trình về dạng dy x =− dx y x+1 Tích phân hai vế ta được: dy x dx Z Z Z Z =− dx + ln C = − dx + + ln C y x+1 x+1 ln y = −x + ln(x + 1) + ln C Do đó: y = e−x+ln(x+1)+ln C = e−x eln(x+1) eln C = C(x + 1)e−x Vậy hàm cần tìm là: y(x) = C(x + 1)e−x , C là hằng số bất kỳ. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 6 / 25 Phương trình có biến số phân ly b) y 0 = ex+y Giải. Viết lại phương trình về dạng dy dy = ex ey ⇔ y = ex dx dx e Tích phân hai vế phương trình sau dy Z Z +C = ex dx ey Ta nhận được: −e−y + C = ex ⇔ e−y = C − ex Tức là: −y = ln (C − ex ) ⇔ y(x) = − ln (C − ex ) C là hằng số bất kỳ. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 7 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng: y 0 + p(x)y = q(x) (3) trong đó, p(x), q(x) liên tục trong [a, b]. - Nếu q(x) = 0 thì phương trình (3) gọi là thuần nhất; - Nếu q(x) , 0 thì phương trình (3) gọi là không thuần nhất. Công thức nghiệm: a) Trường hợp phương trình thuần nhất: y 0 + p(x)y = 0 Nghiệm tổng quát có dạng: R y(x) = Ce− p(x)dx , C = const TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 8 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 R y 0 + p(x)y = 0, y(x) = Ce− p(x)dx , C = const Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất sau: a) y 0 + 3x2 y = 0, y(0) = 5, b) y 0 + ytan x = 0, y(π) = 2. Giải: a) Ta có: p(x) = 3x2 Nghiệm tổng quát của phươn ...