Bài tập đại số sơ cấp - Chương 2

Tham khảo tài liệu bài tập đại số sơ cấp - chương 2, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập đại số sơ cấp - Chương 2I.40. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổ i thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức x2 ( y + z ) y2 ( z + x ) z2 ( x + y) . P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y yI.41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  π sin  x −  π  4  , x ∈  ;π  . y= 2  2 sin x + 1 + 2cos x CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNHA. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Phương trình 1.1. Định nghĩaCho hai hàm số của n biến thực x1 , x2 ,..., xn là f ( x1; x2 ;...; xn ), g ( x1; x2 ;...; xn ). Ta gọi bộ nsố thực ( x1; x2 ;...; xn ) ∈ ℝ n là một điểm trong ℝ n . Khi đó các hàm số f ( x1; x2 ;...; xn ), g ( x1; x2 ;...; xn )được xem là các hàm một biến x trong ℝ n .Ta gọi Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f ( x) = g ( x ) (1)trong đó, f ( x ) và g ( x) là những biểu thức chứa x. Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x) là vế phảicủa phương trình (1). Nếu coi f và g là hàm của n biến trong không gian ℝ thì (1) làphương trình của n ẩn x1 , x2 ,..., xn . Giả sử f(x) có tập xác định là D1, g(x) có tập xác định là D2 thì D = D1 ∩ D2 gọi là tập(miền) xác định của phương trình (1). Nếu xo ∈ D sao cho f ( xo ) = g ( xo ) là một mệnh đề đúng thì xo được gọ i là mộtnghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó, tập hợp các nghiệm của phươngtrình kí hiệu là S. Nếu S = ∅ thì ta nói phương trình vô nghiệm.Chú ý. Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò là các ẩnsố, còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọ i là tham số. Giả ivà biện luận phương trình chứa tham số, nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thìphương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. 1.2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1.2.1. Phương trình tương đương. Hai phương trình được gọi là tương đương vớ inhau khi chúng có cùng tập hợp nghiệm. 17Khi hai phương trình f ( x) = g ( x ) ; f1 ( x ) = g1 ( x) tương đương với nhau ta dùng kí hiệu f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x).Chú ý. Nếu theo định nghĩa trên thì hai phương trình vô nghiệm cũng được coi là tươngđương với nhau vì có cùng tập hợp nghiệm đó là tập hợp ∅ . Vì vậy, cách viết sau cũng coinhư là đúng, tuy nhiên trong thực tế ít khi gặp. Chẳng hạn, x 2 + 3 = 0 ⇔ cos x = 3.Sự tương đương của hai phương trình có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. 1.2.2. Phương trình hệ quả Nếu mọ i nghiệm của của phương trình f ( x) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phươngtrình f ( x) = g ( x ) .Ta dùng kí hiệu f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ). 1.2.3. Các phép biến đổi tương đương phương trình Quá trình giải một phương trình là quá trình biến đổi phương trình đó để đi đến mộtphương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Nếu phép biến đổ i không làm thay đổ itập xác định của phương trình thì phương trình đã cho được biến đổ i tương đương, còn nếulàm thay đổi tập xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm của phương trình đãcho cũng đã bị thay đổ i. Sau đây ta xét một số phép biến đổi tương đương. 1.2.3.1. Định lí. Cho phương trình f ( x) = g ( x ) . Nếu h( x) có nghĩa trong tập xác địnhcủa phương trình đã cho thì f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) + h( x) = g ( x) + h( x ). (1) Hệ quả 1. Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình, nhưngphải đổi dấu của nó. Hệ quả 2. Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế phải bằng không.Do vậy, ta luôn có thể kí hiệu phương trình là F(x) = 0.Chú ý. Điều kiện h(x) có nghĩa trong tập xác định của phương trình f(x) = g(x) là điều kiệnđủ nhưng không cần. Nói khác đi, nếu có điều kiện ấy thì f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) + h( x ) = g ( x ) + h( x)là phép biến đổ i tương đương, còn nếu không có điều kiện ấy thì phép biến đổi trên có thểtương đương hoặc có thể không. 1.2.3.2. Định lí. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu h(x) có nghĩa và khác không trongtập xác định của phương trình đã cho thì f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x)h( x) = g ( x)h( x ). Hệ quả. Có thể nhân hai vế của một phương trình với một số khác không tùy ý.Ta cũng có nhận xét về h(x) tương tự như định lí 1.2.3.1. 1.2.3.3. Định lí. Nếu nâng hai vế của một phương trình lên một lũy thừa bậc lẻ thì tađược một phương trình tương đương với phương trình đã cho.18Chú ý. Phép biến đổi nâng hai vế của phương trình lên một lũy thừa bậc chẵn là phép biếnđổi hệ quả, nó chỉ là phép biến đổi tương đương nếu hai vế của phương trình đều không âmtrên tập xác định. 2k 2k f ( x) = g ( x ) ⇔ [ f ( x) ] = [ g ( x)] , ( f ( x ) ≥ 0, g ( x) ≥ 0). Nếu sau một phép biến đổi nào đó, tập xác định của phương trình đã cho mở rộng rathì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể mở rộng ra ...