Bài tập đại số sơ cấp - Chương 4

Tham khảo tài liệu bài tập đại số sơ cấp - chương 4, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập đại số sơ cấp - Chương 4 2cos 2 x + 3mcosx +1 ≥ 0.Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; π ].III.28. Cho bất phương trình 1 1 x2 + + (2m + 3)( x + ) + 2(m + 2) > 0. 2 x xTìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ≠ 0.III.29. Cho bất phương trình x 3 − (2m + 1) x 2 + 3(m + 4) x − m − 12 > 0.Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x > 1.III.30. Cho bất phương trình ( x − 1)( x + 1)( x + 3)( x + 5) > m.Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x > −1.III.31. Cho bất phương trình x( x − 2)( x + 2)( x + 4) < 2m.Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm x > 0.III.32. Chứng minh rằng phương trình 4 x ( 4 x 2 + 1) = 1 có đúng ba nghiệm phân biệt. CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈA. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Ta gọ i phương trình vô tỉ, mọ i phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đólà phương trình dạng f ( x ) = 0, trong đó f ( x ) là một hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý. (Các định lý sau làm cơ sở cho việc giải phương trình vô tỉ). 2 k +1 = [ g ( x)]2k +1 1.2.1. Định lý. f ( x) = g ( x ) ⇔ [ f ( x)] f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = [ g ( x )]2 k +1 1.2.2. Định lý. 2 k +1 1.2.3. Định lý. f ( x) = 2 k +1 g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x) 2 k +1  g ( x) ≥ 0 1.2.4. Định lý. f ( x ) = g ( x) ⇔  2k 2k  f ( x) = [ g ( x)] 43  f ( x ) ≥ 0 ∨ g ( x) ≥ 0 1.2.5. Định lý. f ( x) = 2k g ( x) ⇔  2k  f ( x) = g ( x) (Với k là số tự nhiên khác 0).2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ2.1. Phương pháp nâng lên lũy thừa2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ2.3. Phương pháp lượng giác hóa Trong một số trường hợp, nếu chúng ta đặt ẩn phụ bởi các hàm số lượng giác, thì việc giảiquyết bài toán trở nên dễ dàng hơn. Kiến thức cần nhớ như sau.+ Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là − k ≤ x ≤ k , k > 0 hay phương trình có chứa ππ k 2 − x 2 thì đặt x = k sin t , t ∈ [− ; ]; hoặc đặt x = k cos t , t ∈ [0; π]. 22+ Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là x ≥ k , k > 0 hay phương trình có chứa 3π π π π k k x 2 − k 2 thì đặt x = ; t ∈ [0; ) ∪ [π; ); hoặc đặt x = , t ∈ [− ; 0) ∪ (0; ]. cos t 2 2 sin t 2 2 x2 + k 2+ Nếu trong phương trình, ẩn x nhận mọi giá trị thuộc ℝ hay phương trình có chứa  π πthì đặt x = k tan t , t ∈  − ;  .  2 2Ngoài ra, tùy từng trường hợp, cũng có thể đặt x = cos 2 t; x = sin 2 t ,...2.4. Một số phương pháp khácII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Bất phương trình vô tỉ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Nói khácđi đó là một bất phương trình có dạng f ( x ) > 0, (hoặc f ( x) < 0, f ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 ), trongđó f ( x ) là hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý f ( x) ≥ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g 2 k +1 ( x) . 1.2.1. Định lý. 2 k +1 f ( x) ≤ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g 2 k +1 ( x) . 1.2.2. Định lý. 2 k +1   g ( x) ≤ 0   f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ g ( x ) ⇔  1.2.3. Định lý. 2k   g ( x) ≥ 0    f ( x) ≥ g 2 k ( x) 44  f ( x) ≥ 0  1.2.4. Định lý. f ( x ) ≤ g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 0 2k  f ( x) ≤ [ g ( x )]2 k 2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 2.1. Phương pháp nâng lũy thừa 2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Một số phương pháp khácB. BÀI TẬPIV.1. Giải các phương trình 1) (16 − x 2 ) 3 − x = 0; 2) (9 − x 2 ) 2 − x = 0; 4 + 2 x − x 2 = x − 2; 3) 4) 1 + 4 x − x 2 = x − 1; 5) 2x +1 + x − 3 = 2 x; 6) x + 1 + 4 x + 13 = 3 x + 12; 7) ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12; 8) x + 4 − 1 − x ...