Bài tập lớn: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Văn Rin

Bài tập lớn: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải. Mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trình nói chung.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập lớn: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Văn Rinwww.VNMATH.comMét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3ALỜI NÓI ĐẦU:Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ. Trong những năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phương trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong bài tập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỷ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trình nói chung.Page 1www.VNMATH.comNguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tûA. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: Giải phương trình: 1 2 x  x 2  x  1  x (*) 3(ĐHQG HN, khối A-2000) Giải: Điều kiện: 0  x  1 Cách 1:2  2  (*)  1  x  x2   x  1  x  3  4 4  1 x  x 2  ( x  x 2 )  1  2 x(1  x ) 3 9 2 4( x  x 2 )  6 x  x 2  0  2 x  x 2 (2 x  x 2  3)  0 x  x2  0   x  x2  3   2 2 x  x  0  2  x  x  9  0( PTVN )  4  x  0 (thỏa điều kiện)  x 1 Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Cách 2:Nhận xét:x  x 2 được biểu diễn quax và 1  x nhờ vào đẳng thức:x  1 x2=1+2 x  x 2 .Đặt t  x  1  x (t  0) .t 2 1  x x  . 22Phương trình (*) trở thành:t  1 t2 1  t  t 2  3t  2  0   3 t  2 Với t  1 ta có phương trình: 1 x  0 (thỏa điều kiện). x  1  x  1  2 x  x 2  0  x  x2  0   x 1  Với t  2 ta có phương trình:Page 2www.VNMATH.comMét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A9 9  x 2  x   0( PTVN ) . 4 4 Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . x  1  x  2  2 x  x2  3  x  x2  Cách 3:Nhận xét:x và 1  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể x 21 x2 1.(*)  2 x . 1  x  3 1  x  3 x  3 1  x 2 x  3  3 x  3 (1) .9 không thỏa mãn phương trình (1). 4 3 x 3 (2) . Do đó, (1)  1  x  2 x 3 3t  3 Đặt t  x (t  0), (2)  1  x  . 2t  3 xTa có:2 x 221 x21 3t  3  t   1  2t  3   t 2 (4t 2  12t  9)  9t 2  18t  9  4t 2  12t  9  4t 4  12t 3  14t 2  6t  0  t (2t 3  6t 2  7t  3)  0 t (t  1)(2t 2  4t  3)  0 t  0 .  t  1Với t  0 ta có x  0  x  0 (thỏa điều kiện). Với t  1 ta có x  1  x  1 (thỏa điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Cách 4:Nhận xét:x và 1  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể x 21 x2 1.Đặt a  x (a  0); b  1  x (b  0) . Ta có hệ phương trình: 2 3  2ab  3(a  b) 2ab  3(a  b)  3 1  ab  a  b    3 2 2 (a  b)  2ab  1 (a  b)  3(a  b)  2  0 a 2  b 2  1 Page 3www.VNMATH.comNguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A  a  b  1  2ab  3(a  b)  3  ab  0   a  b  1   a  b  2   3 a  b  2   ab  2  Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû a  1  b  0 2 .  a, b là 2 nghiệm của phương trình X  X  0    a  0   b  1 a  b  2 3  2 (Trường hợp  3 loại vì 2  4.  0 ). 2 ab  2   a  1  x 1  x  1 (thỏa điều kiện). Với  ta có  b  0  1 x  0   x 0  x  0 (thỏa điều kiện).   1 x  1  Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 .Với a  0 ta có b  1 Cách 5:Nhận xét: Từ Đặt x 221 x2 1 , ta nghĩ đến đẳng thức: sin 2 a  cos2 a  1 .x  sin a, 0  a .Phương trình (*) trở thành: 1  sin a. 1  sin 2 a  sin a  1  sin 2 a (sin a  cos a )2  3(sin a  cos a)  2  0 sin a  cos a  1    sin a  cos a  1  2 sin( a  )  1 4 sin a  cos a  2     a  4  4  k 2  1  sin(a  )   ( k  ) 4 2  a    3  k 2   4 4 a  k 2 a0     ( k  )     (vì 0  a  )  a   k 2 a  2  2  2 Với a  0 ta có x  0  x  0 (thỏa điều kiện).2 3  3  2sin a.cos a  3sin a  3cos a (vì cos a  0)Page 4www.VNMATH.comMét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3AVới a  1 ta có x  1  x  1 (thỏa điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Qua bài toán mở đầu, ta thấy có nh ...