Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

GIẢI TÍCH KẾT HỢP0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) =n...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán họcTr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI TẬP CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1)0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =10.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 ∑ k + 1 C (n, k ) = 2n +1 − 1 C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + .C(n,n) = n +1 n +1 2 3 k =0 C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n 1. C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1 2. Bài tập 1Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học CHƯƠNG 1 SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT1.1. Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xácđịnh ngồi cạnh nhau.1.2. Có n người ngồi ngẫu nhiên trên gh ế dài. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xác đ ịnhngồi cạnh nhau.1.3. Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân. Từ c ỗ bài đã xóc k ỹ tarút ngẫu nhiên 6 quân bài. a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất m ột con Át. b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đ ủ đ ại di ện c ủa 4 chất.1.4. Có n đôi găng tay thuộc n loại khác nhau đ ược b ỏ l ẫn l ộn trong ngăn kéo. Rútngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n). Tính xác suất rút được đúng 2 đôi.1.5. Bốn sinh viên vào 5 phòng học. Giả sử mỗi người có th ể vào m ột phòng b ất kỳvới khả năng như nhau. Tính xác suất để a) Cả 4 người vào cùng phòng. b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau. Bài tập 2Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI GIẢI CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP0.1. Chứng minh n ∑ C (k , p ) C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = = C(n+1,p+1) k=pCM. Sử dụng công thức Pascal C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1)ta có n n n ∑ C (k , p) = ∑ C (k + 1, p + 1) − ∑ C (k , p + 1) k=p k= p k= p = C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1)0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =1CM. Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có n −1 n n ∑ k.C (n, k ) = ∑ n.C (n − 1, k − 1) = n. ∑ C (n − 1, h) = n.2n−1 k =1 k =1 h=00.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 .C(n,n) = ∑ 2n +1 − 1 C (n, k ) = C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + k =0 k + 1 n +1 n +1 2 3CM. Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C( ...