Báo cáo nghiên cứu khoa học: Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh

Tham khảo luận văn - đề án báo cáo nghiên cứu khoa học: "vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh", luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh" Vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh (a) (b) (c) Ng« Sü Tïng , Lª V¨n An NguyÔn ThÞ §øc HiÒn Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh c¸c tù ®ång Σ−tùa néi cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh vµ mét ®Æc trng m«®un Σ − (1 − C1 ). x¹ bëi ®iÒu kiÖn gi¶ néi x¹ vµ C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña chóng t«i trong [2], [3], [4] vµ cña nh÷ng t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [6], [7], ...).I. Më ®Çu Trong bµi b¸o nµy c¸c vµnh ®Òu lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ vµ tÊt c¶ c¸c m«®un lµ R nµo ®ã (nÕu kh«ng nãi g× thªm). Cho hai R−m«®un Am«®un ph¶i unita trªn vµnh N . M«®un N ®îc gäi lµ A−néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi ®ång cÊuvµϕ : X −→ N cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu ψ : A −→ N . M«®un N ®îc gäi lµ tùa néi x¹ nÕuN lµ N −néi x¹. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh tùa néi x¹ ph¶i (tr¸i) nÕu RR (R R) lµ m«®untùa néi x¹. M«®un N ®îc gäi lµ A−x¹ ¶nh nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi ®ångcÊu ϕ : N −→ A/X cã thÓ ®îc n©ng lªn thµnh ®ång cÊu ψ : N −→ A. Cho mét m«®unM , ta xÐt c¸c ®iÒu kiÖn sau: (C1 ) Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M , hay nãic¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng trong M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C2 ) NÕu A vµ B lµ c¸c m«®un con cña M ®¼ng cÊu víi nhau vµ A lµ h¹ng tö trùctiÕp cña M th× B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C3 ) NÕu A vµ B lµ c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ A ∩ B = 0 th× A ⊕ B còng lµ h¹ngtö trùc tiÕp cña M . (1 − C1 ) Mäi m«®un con ®Òu (uniform) cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕpcña M . M«®un M ®îc gäi lµ CS −m«®un (t¬ng øng m«®un (1 − C1 ), liªn tôc, tùa liªn tôc),nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C1 ) (t¬ng øng (1 − C1 ), (C1 ) vµ (C2 ); (C1 ) vµ (C3 )). Theo [12] ⇒ (C3 ) vµ s¬ ®å kÐo theo sau lµ ®óng:ta cã (C2 ) = ⇒ Tùa néi x¹ =⇒ Liªn tôc =⇒ Tùa liªn tôc =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ). Néi x¹ = M«®un M ®îc gäi lµ (®Õm ®îc) Σ−néi x¹ (t¬ng øng (®Õm ®îc) Σ−tùa néi x¹,(®Õm ®îc) Σ − (1 − C1 )) nÕu m«®un M (I ) (t¬ng øng M (N) ) lµ néi x¹ (t¬ng øng tùa néix¹, (1 − C1 )) víi tËp chØ sè I bÊt kú (trong ®ã N lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn). M«®un M ®îc gäi lµ m«®un 1−chuçi (uniserial) nÕu tËp hîp c¸c m«®un con cña Ms¾p thø tù tuyÕn tÝnh. M«®un M ®îc gäi lµ m«®un chuçi (serial) nÕu M lµ tæng trùctiÕp cña c¸c m«®un con 1−chuçi. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh 1−chuçi (t¬ng øng chuçi)ph¶i (tr¸i) nÕu m«®un RR (t¬ng øng m«®un R R) lµ m«®un 1−chuçi (t¬ng øng m«®unchuçi). 1 NhËn bµi ngµy 28/2/2008. Söa ch÷a xong 21/4/2008. Vµnh ®îc gäi lµ QF - vµnh nÕu lµ vµnh Artin ph¶i vµ tr¸i, tùa néi x¹ ph¶i vµ R Rtr¸i. A−gi¶ néi x¹ (A−pseudo −injective) nÕu mäi m«®un con X cña M«®un ®îc gäi lµ N ϕ : X −→ N ®Òu cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu ψ : A −→ N . M«®un NA, mäi ®¬n cÊu®îc gäi lµ gi¶ néi x¹ (pseudo − injective) nÕu N lµ N −gi¶ néi x¹. M«®un N ®îc gäi lµA−gi¶ x¹ ¶nh (A−pseudo − projective) nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi toµn cÊuϕ : N −→ A/X cã thÓ ®îc n©ng lªn thµnh ®ång cÊu ψ : N −→ A. M«®un N ®îc gäi lµgi¶ x¹ ¶nh (pseudo - projective) nÕu N lµ N − gi¶ x¹ ¶nh. Chóng ta dïng ký hiÖu A ⊆ M , A ⊆e M , A ⊆⊕ M vµ End(M ) ®Ó chØ A lµ m«®un concña m«®un M , A lµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M , A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®unM vµ vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un M t¬ng øng. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè tÝnh chÊt vÒ vµnh c¸c tù ®ång cÊu cñam«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh. Chóng t«i còng ®a ra mét ®Æc trng cña Σ−tùa néi x¹ th«ng qua ®iÒu kiÖn gi¶ néi x¹, qua ®ã øng dông ®Ó ®Æc trng QFm«®un- vµnh. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña chóng t«i trong [2], [3],[4] vµ cña nh÷ng t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [6], [7], ...).II. Vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹¶nh Cho M lµ m«®un 1− chuçi vµ S = End(M ). Khi ®ãBæ ®Ò 2.1. M lµ m«®un gi¶ néi x¹ th× S lµ 1−chuçi tr¸i. (a) NÕu M lµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh th× S lµ 1−chuçi ph¶i. b) NÕu 1−chuçi vµ gi¶ néi x¹. Tríc hÕt ta chøngChøng minh. (a) Ta gi¶ sö r»ng lµ m«®un Mminh lµ m«®un tùa néi x¹. M A lµ m«®un con cña M vµ ®ång cÊu f : A −→ M, (f = 0). ThËt vËy, xÐt - NÕu Kerf = 0 th× f lµ ®¬n cÊu vµ d ...