Bất đẵng thức ptolemy và ứng dụng

Bất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptolemy về tính chất của tứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẵng thức ptolemy và ứng dụng Bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng Trần Nam DũngBất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptolemy về tính chất củatứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh điển và đẹp của hình học sơ cấp.Có thể nói, bất đẳng thức Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ các cách chứng minh đadạng đến những ứng dụng phong phú trong các bài toán chứng minh, trong tính toán hìnhhọc và trong các bài toán bất đẳng thức hình học.Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét những khía cạnh thú vị của bất đẳng thứcPtolemy, chứng minh một luận điểm thú vị là bất đẳng thức Ptolemy thực chất vừa là hệquả, vừa là mở rộng của bất đẳng thức tam giác. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các ứngdụng phong phú của các kết quả này trong hình học và cả trong các môn học khác (như sốhọc, lý thuyết đồ thị …)Bất đẳng thức Ptolemy là hệ quả của bất đẳng thức tam giác?Ai cũng biết bất đẳng thức tam giác: Với A, B, C là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng, ta cóAB + BC ≥ AC (1). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa Avà C. Nói cách khác AB = k BC với k là một số thực dương.Trong khi đó, bất đẳng thức Ptolemy khẳng định: Với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ trên mặtphẳng, ta có AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD (2).Rõ ràng, theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thức Ptolemy chính là mở rộng của bấtđẳng thức tam giác. Vì sao vậy? Xin giải thích lý do:Chia hai vế của (2) cho BD, ta được CD AD AB + BC ≥ AC BD BDNếu chọn D “đủ xa” thì từ đây ta sẽ suy ra AB + BC ≥ AC.Điều này nghe cũng ngạc nhiên, tuy nhiên lợi ích đem lại của sự đặc biệt hoá này khôngnhiều, vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thức Ptolemy cao siêu để chứng minh bất đẳng thứctam giác vốn được coi như tiên đề?Tuy nhiên, một logich rất tự nhiên dẫn chúng ta đến một ý tưởng hữu ích hơn: Như vậybất đẳng thức Ptolemy có liên quan đến bất đẳng thức tam giác. Vậy có thể là bất đẳngthức Ptolemy có thể được chứng minh nhờ vào bất đẳng thức tam giác? Điều này quả lànhư vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng cho luận điểm này:Cách chứng minh thứ nhất: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tamgiác.Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chấtcủa tam giác đồng dạng, ta có BA/EA = BD/CDSuy ra BA.CD = EA.BD (3)Mặt khác, hai tam giác EBC và ABD cũng đồng dạng do có BA/BD = BE/BC và ∠ EBC = ∠ ABDTừ đó EC/BC = AD/BDSuy ra AD.BC = EC.BD (4)Cộng (3) và (4) ta suy ra AB.CD + AD.BC = BD.(EA+EC)Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, E, C thẳng hàng, tức là khi A và D cùng nhìn BC dưới 1góc bằng nhau, và khi đó tứ giác ABCD nội tiếp.Trong chứng minh trên ta đã chỉ xem xét đến trường hợp ABCD lập thành một tứ giác lồivà điểm E được dựng nằm trong tứ giác ABCD. Nếu dùng ngôn ngữ phép biến hình thìvấn đề dựng điểm E sẽ rõ ràng hơn và không phụ thuộc vào vị trí tương đối của cácđiểm: Xét phép vị tự quay tâm B biến D thành A và C thành E.Cách chứng minh thứ hai: Sử dụng phép nghịch đảo và bất đẳng thức tam giác.Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích 1 biến B, C, D thành B’, C’, D’. Theo tính chấtcủa phép nghịch đảo, ta có B’C’ = BC/AB.AC C’D’ = CD/AC.AD B’D’ = BD/AB.ADÁp dụng bất đẳng thức tam giác ta có B’C’ + C’D’ ≥ B’D’Thay các đẳng thức trên vào thì được AD.BC + AB.CD ≥ AC.BDDấu bằng xảy ra khi B’, C’, D’ thẳng hàng. Khi đó, lại áp dụng tính chất của tam giácđồng dạng, ta suy ra ∠ ABC và ∠ ADC bù nhau, suy ra tứ giác ABCD nội tiếp.Nếu coi rằng tính chất của phép nghịch đảo cũng được chứng minh nhờ vào tính chất củatam giác đồng dạng thì cũng có thể thấy rằng hai cách chứng minh trên đây không khácbiệt là bao và đều sử dụng đến tam giác đồng dạng. Cách chứng minh dưới đây gây ngạcnhiên về sự ngắn gọn của nó:Cách chứng minh thứ ba: Số phứcPhép chứng minh này cũng sử dụng bất đẳng thức tam giác, nhưng được phát biểu nhưtính chất của số phức: Với các số phức x, y bất kỳ ta có |x| + |y| ≥ |x+y| (5)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = kx với k là một số thực không âm.Xét bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng phức có toạ vị là a, b, c và 0 (có thể giả sử nhưvậy), trong đó a, b, c là các số phức bất kỳ. Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có thểviết dưới dạng |(a-b)c| + |a(b-c)| ≥ |(a-c)b|Nhưng điều này là hiển nhiên theo bất đẳng thức (5) vì (a-b)c + a(b-c) = (a-c)b.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a-b)c = ka(b-c) với k là một số thực dương. Câu hỏi tạisao điều kiện này tương đương với sự kiện A, B, C, D nằm trên một được tròn xin đượcdành cho bạn đọc.Chứng minh định lý Ptolemy sử dụng đường thẳng SimsonHạ DA1 vuông góc với BC, DB1 vuông góc với AC và DC1 vuông góc với AB thì B1, A1, C1thẳng hàng và B1A1 + A1C1 = B1C1 (6).Áp dụng định lý hàm số sin cho các đường tròn đường kính DC, DB, DA và các dây cungA1B1, A1C1 và B1C1 tương ứng, ta có A1B1 = DC.sinC, A1C1 = DB.sinB, B1C1 = AD.sinALại áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABC, ta có sinC = AB/2R, sinB = AC/2R, sinA = BC/2RThay vào đẳng thức (6) và rút gọn, ta thu được AB.CD + AD.BC = AC.BD (đpcm)Bất đẳng thức Ptolemy và những kết quả kinh điểnTrước hết ta xem xét ứng dụng của bất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt củanó – định lý Ptolemy trong việc chứng minh các kết quả kinh điển của hình học phẳngĐiểm Toricelli:Xét bài toán “Cho tam giác ABC bất kỳ. Hãy tìm điểm M trong mặt phẳng tam giác saocho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất”.Điểm M tìm được được gọi là điểm Toricelli của tam giác ABC. Có thể giải ngắn gọnbài toán này bằng cách sử dụng bất đẳng thứ ...