C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAME - PHƯƠNG PHÁP GAUSS HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VÀ ỨNG DỤNG

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1 2 3 Các khái niệm HPTTT Crame Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 4 Một số ứng dụngI. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNI.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:a x1 a x 2 12 11 a21x1 a22 x 2 ... ... a x a x m1 1 m2 2 ... ... ... a1n xn a2n xn ... b1 xj là biến...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAME - PHƯƠNG PHÁP GAUSS HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VÀ ỨNG DỤNGC2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm 2 HPTTT Crame 3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 4 Một số ứng dụng 1 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNI.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhấtgồm m phương trình n ẩn có dạng: a x1  a x 2  b1 xj là biến ... a1n xn  11 12 aij được gọi là a21x1  a22 x 2  ... a2n xn b2  hệ số (của ẩn) ... ... ... ... ... bi: được gọi làa x  a x  ... amn xn  bm m1 1 m2 2 hệ số tự do 2 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2n 2. Ma trận các hệ số: A    ... ... ... ...   am1 am2 ... amn   3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:  x1  b1  x  b   2   x1 x 2 ... xn T B   2   b1 b2 ... bm T X ...  ...     xn  bm Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 3 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN4. Ma trận bổ sung: a1n b1   a11 a12 ... a a2n b2  a22 ...  21  A  ... ... ... ... ...    am1 am2 ... amn bm  4 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm:• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phươngtrình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của matrận A bằng hạng của ma trận bổ sung .Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm: ax1  x 2  x 3  1  x1  ax 2  x 3  1 x  x  ax  1 1 2 3 5 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệphương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và địnhthức của ma trận hệ số khác không.2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệmduy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: det( A j ) xj  det( A )Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cộtthứ j bằng cột các phần tử tự do. 6 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMEVí dụ: Giải hệ phương trình:  x1  2x 3  6   3 x1  4 x 2  6 x3  30   x  2x  3 x  8  1 2 3 7 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có sốphương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức matrận các hệ số bằng không.3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến matrận bổ sung về dạng ma trận bậc thang. ... a1n b1   a11 a12 a  a22 ... a2n b2  21 A  ... ... ... ...    am1 am2 ... amn bm  8 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS• m = n: a11 a12 ... a1n b1   0 a ... a2n b2  22   A  ... ... ... ...    0 0 ... ann bm   a11x1  a12 x 2  ... a1n xn  b1  a22 x 2  ... a2n xn  b2   ... ... ... ... ...   ... ann xn  bn  9 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSSVí dụ: Giải hệ phương trình: 2x1  4 x 2  3 x3  4  3 x1  x 2  2x3   2 4 x  11x  7 x  7 1 2 3 10 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT4.1. Định nghĩa:  a x1  a x 2 ...  a1n xn 0  11 12  a21x1  a22 x 2 ...  a2n xn 0   ... ... ... ... a x  a x ...  amn xn 0  m1 1 m2 2Hệ luôn có nghiệm tầm thường 0  0     0 0 ... 0T X ... 0   11 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT4.2. Phương pháp giải:Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ cónghiệm tầm thường.Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trìnhtuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-ktham số.Ví dụ:  x1  2x 2  4 x 3  3x 4  0 3 x  5 x  6 x3  4x 4  0 1 2  4 x1  5 x 2  2x3  3 x3  0 3 x1  8 x 2  24 x 3  19 x 4  0  12 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT  3 3H1H2  1 2 4  31 2 4   4H1H3 0  1  6 53 5 6 4 3H1H4       0  3  18 154 5 2 3 0 12  103  2 8 24  19  ...