Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thườngxuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàmsố. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bàitập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽxét hai dạng bài tập sau:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các dạng bài toán về cực trị của hàm sốCác dạng bài toán về cực trị của hàm sốTrong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thườngxuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàmsố. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bàitập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽxét hai dạng bài tập sau:Dạng 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cựctrị tại .Cách giải.Bước 1 (ĐK cần). Giả sử hàm số đạt cực trị tại , tìmđược .Bước 2 (ĐK đủ). Với từng giá trị m tìm được, thử lạixem có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không.Chú ý.1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc 2 để kiểm tra lại đk đủở bước 2.2) Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp Qui tắc2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cựctiểu tại khi và chỉ khi . là lời giải sai. Chẳnghạn, hàm đạt cực tiểu tại , nhưng . (Trong kỳ thi TNTHPT vừa qua có rất nhiều bạn mắc sai lầm này!).Ví dụ 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại.Lời giải.TXĐ: xác định với mọiĐK cần: HS đạt cực đại tạiĐK đủ: Với HS đạt cực tiểu tại loạiVới HS đạt cực đại tại .KL: .Ví dụ 2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại .Lời giải.TXĐ: xác định với mọiĐK cần: Hàm số đạt cực đại tạiĐK đủ: VớiTừ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểutại . Do đó không là giá trị cần tìmVớiTừ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tạiKết luận:Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trịvà thỏa mãn một vài điều kiện.Cơ sở lý thuyết:1) Cực trị hàm bậc 3: .Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị lànghiệm của phương trình .2) Cực trị hàm bậc 4: .Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi có 3 nghiệm phânbiệt.Nếu viết được với là tam thức bậc 2. Khi đó hàm sốcó 1 điểm cực trị khi và chỉ khi hoặc .3) Cực trị của hàm phân thức:HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị lànghiệm phương trình .Chú ý: Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là cựcđại, điểm nào là cực tiểu thì cần lập BBT để xác địnhđiểm cực trị.Với bài toán có vai trò của điểm cực đại, cực tiểunhư nhau thì ta thường dùng Định lý VietVí dụ 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .Lời giải.TXĐ:, xác định với mọiĐặtHàm số đạt cực trị tại thỏa mãn khi và chỉ khi cóhai nghiệm thỏa mãn . Thay vào PT thì điều nàytương đương với phương trình có hai nghiệm thỏa mãn . Tương đương vớiKết luận:Ví dụ 4. Cho hàm số để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.TìmLời giải.TXĐ:, xác định với mọiHàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn khi và chỉkhi có nghiệm thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:hoặcĐặtThế vào PT ta cóTH1:TH2: . Thay vào PT suy ra . Khi đó . Do đó khôngphải giá trị cần tìm.Kết luận:Nhận xét:1) Lời giải Ví dụ 3, Ví dụ 4 đều đưa bài toán về dạngso sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với mộtsố thực khác . Với loại bài toán này, ta thường đặtẩn phụ để đưa về bài toán cơ bản đã học ở lớp 10 làso sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0. Cụthể, cho tam thức bậc hai . Khi đó: có hai nghiệm+) có hai nghiệm+) có hai nghiệm+)2) Trong Ví dụ 4, cần chú ý xét trường hợp . Nếukhông cẩn thận, các bạn rất có thể quên mất trườnghợp này.3) Cũng liên quan đến Áp dụng định lý Viet, bài toáncó thể yêu cầu tính toán liên quan đến các biểu thứcđối xứng giữa hai nghiệm của một tam thức bậc 2. Mộtcơ sở lý thuyết để giải loại bài tập này là mọi biểuthức đối xứng đối với hai nghiệm của tam thức đều cóthể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là .Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta làm một số ví dụsau.Ví dụ 5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .Lời giải.TXĐ:, xác định với mọiHàm số đạt cực trị tại hoặc .Theo Định lí Viet, ta cóDo đó hoặcKết luận: hoặcVí dụ 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại, cựctiểu tại . Tìm GTLN của biểu thức.Lời giải.TXĐ:Hàm số đạt cực trị tại .Khi đó, theo Định lý Viet, ta có.Bài toán trở thành tìm GTLN của trênTrên , ta cóDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .Kết luận: vàBài tâp.Bài 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tạithỏa mãn .Bài 2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn . ...