Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

Tổng hợp bộ đề thi tham khảo môn giải tích 2
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52 C¸c §Ò thi m«n Gi¶i tÝch 2 khãa 52§Ò sè 1C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc x2 + 2y 2 + 3z 2 + xy − z − 9 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂ 2z ∂ 2z (M) vµ (M) t¹i M(1, −2, 1). ∂x2 ∂y 2C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 2x3 − 4y 3 − 6xy 2 − 21y 2 + 9x2 − 18xy − 24y.C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt trô x2 + y 2 = 2x vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z, M lµ miÒn kh«ng gianh÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã vµ mÆt ph¼ng xOy. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z n»m trong S h×nh trô x2 + y 2 ≤ 2x, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi.C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) ey dx − (xey − 2y)dy = 0. b) y + 4y = sin 3x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 0, y = 0. x=0 x=0§Ò sè 2C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc 2x2 + y 2 + 2z 2 + xy − 3z − 13 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm ∂z ∂ 2zriªng (M) vµ (M) t¹i M(1, 2, −1). ∂y ∂x∂yC©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 4x3 − 2y 3 + 6x2 y + 21x2 − 9y 2 + 18xy + 24x.C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt nãn z = x2 + y 2 vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z, M lµ miÒn kh«ng gianh÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + 2 dxdz − 2 dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z n»m trªn S mÆt nãn z = x2 + y 2, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi.C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x − y 2)dx + 2xy dy = 0. b) y + y = 4 sin x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 1, y = 0. x=0 x=0§Ò sè 3  2  1 − cos x x2 + y 2 nÕu y = 0C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? x3C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm f = x2 + − xy 2 + y 2 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dxC©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn x2 + (y − 2)2 = 9 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2®ång hå. 2 2C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e3−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt (y 2 − yez )dydz + y + cos z 2 dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 3−x2 −y 2 z=e n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn.C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (1 + x2)y − y − 1 = 0. b) y + 2y − 3y = ex .§Ò sè 4   x2 x2 + y 2 · sin nÕu y = 0C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? y3C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm u = x2 + y 2 + − yx2 − 1 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dxC©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn (x − 1)2 + y 2 = 4 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2®ång hå. 2 2C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e2−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt sin(y 2 + yez )dydz + y − ln(1 + z 2) dxdz + dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 2 2 z = e2−x −y n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn.C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x2 + 1)y + 2y = 1. b) y − y − 2y = e−x .§Ò sè 5C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y) = (2x − y, xy) vµ ®iÓm M(1, 2). a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y) kh¶ vi t¹i M(1, 2). b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f (M), biÕt f = u ◦ u.C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 2 + z 2 víi ®iÒu kiÖn x − y + 2z = 6.C©u 3 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x ≥ 0, y ≥ 0, z √ 0) giíi h¹n bëi √ ≥c¸c mÆt z = 0, x = y, x = z, y = 1. KÝ hiÖu L lµ cung thuéc giao cña mÆt trô x = z vµ mÆt ph¼ngx = y nèi ®iÓm O(0, 0, 0) víi ®iÓm A(1, 1, 1). a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i ...