Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên1. Kỳ vọng toán Định nghĩa 1.1. Kỳ vọng toán hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là một số thực, ký hiệu E(X) được xác định bởi.Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất P(X = xk) = pk thì. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ thì. Số E(X) cho ta biết giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên X nhận.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên1. Kỳ vọng toánĐịnh nghĩa 1.1. Kỳ vọng toán hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là mộtsố thực, ký hiệu E(X) được xác định bởi Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất P(X = xk) = pk thì  Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ thì Số E(X) cho ta biết giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên X nhận. E(X) tồn tại hữuhạn nếu hoặc . Trong trường hợp E(X) nhận giá trị vôhạn, ta nói biến ngẫu nhiên X không tồn tại kỳ vọng. Lưu ý rằng, thực chất E(X)chính là tích phân Lebesgue của biến ngẫu nhiên (hàm đo được) X theo độ đo xácsuất P trên không gian mẫu , nghĩa làE(X )=Việc xây dựng định nghĩa E(X) như trên có thể tìm đọc chẳng hạn trong [1].Ví dụ 1.2. Cho không gian xác suất . Xét biến ngẫu nhiên hàm vàchỉ tiêu IA trên tập A, nghĩa làTa có P(IA = 1) = P(A) và P(IA = 0) = P( ) = 1 - P(A). VậyE(IA) = 1.P(A) + 0.[1 – P(A)] = P(A)Ví dụ 1.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độBiết . Tìm EX.Giải. Có .Mặt khác,Từ đó suy ra VậyTính chất 1.4. Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + b) = aE(X) + b.  Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = xi) = pi thì  với mọi hàm thực g ta có Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ và g là hàm Borel  thì2. Phương saiĐịnh nghĩa 2.1. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực không âm, kýhiệu D(X) được xác định bởiDX = E(X - E(X))2Khai triển vế phải công thức trên ta cóD(X) = .Phương sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trưng cho mức độ phân tán cácgiá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó. Đạilượng được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X.Tính chất 2.2. Nếu C là hằng số thì D(C) = 0  Nếu a, b là các hằng số thì D(aX + b) = a2D(X).  Nếu D[g(X)] = 0 thì g(X) là hằng số. Ví dụ 2.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độXác định kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X2.Giải. Ta cóTừ đó3. Các số đặc trưng kháca. Mômen gốc và mômen trung tâmĐịnh nghĩa 3.1.i) Mômen gốc bậc k ( của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu mk được xác địnhbởimk = E(Xk) .ii) Mômen trung tâm bậc k ( của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu được xácđịnh bởi = E(X - E(X))kCác định nghĩa này là sự khái quát trực tiếp của của các khái niệm E(X) và D(X).Ta thấy E(X) = m1 còn D(X) = . Lưu ý rằng, một số biến ngẫu nhiên có thể có