CHUỖI LŨY THỪA

Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên.Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô hạn, có số lượng các biểu thức dài vô hạn. Chuỗi hữu hạn có thể được xử lý bằng các phép tính đại số sơ cấp. Trong khi đó các chuỗi vô hạn cần các công cụ giải tích trong các ứng dụng toán học.Trong giải tích thường phân chia chuỗi thành chuỗi số...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUỖI LŨY THỪA IV. CHUỖI LŨY THỪA1.Định nghĩa ∞ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∑ n =1 n an(x − x0) Bằng phép biến đổi X = ( x − x0 ) ∞ ta đưa chuỗi trên về dạng ∑a X n =1 n n Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho ∞ trường hợp chuỗi có dạng ∑ n =1 an x n ∞ Rõ ràng chuỗi ∑a x n =1 n n hội tụ tại x =02. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∞ ∗ Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa ∑ n =1 n an x hội tụ với mọi x : x < R và phân kỳ với mọi x : x > Rđược gọi là bán kính hội tụ của chuỗi. ∗ Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của ∞ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). ∞ ∗Nếu chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn hội tụ ∀x ∈ R ta cho R = +∝ . ∞ ∗Nếu chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an x n phân kỳ ∀x ≠ 0 ta cho R = 0.3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. an+1a) Định lý Abel: Giả sử lim n →∞ a = ρ n ∞ Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =1 n an x  0 , ρ =+∞ 1 là: R = , 0< ρ 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).b. Định lý Cauchy: Giả sử lim n an = ρ n→∞ ∞ khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn 0 , ρ = + ∞ 1 là: R = , 0< ρ 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). ∗Bước 1: Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R. ∗Bước 2: Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R ∗Bước 3: Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ. Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ∑n a x n =1 n4. Một số ví dụ: ∞ n VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ x n =1 n 1 an+1 n Ta có: an = ⇒ = →1 n an n + 1 V ậy R = 1 ∗ Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 4. Một số ví dụ - VD 1(tt): ∞ n1 Tại x = -1 ta có chuỗi ∑ (−1) n =1 n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x 4. Một số ví dụ - VD2(tt): Ta có: an = 1 n ⇒ n an = n1 → 1 n.3 3 n 3 Vậy R=3 ∗Khoảng hội tụ của chuỗi là - 3 < X < 3 ⇔ - 3 < ( x + 2) < 3 ⇔ - 5 < x 4. Một số ví dụ - VD2(tt): ∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và x = 1: ∞ n1 Tại x = -5 ta có chuỗi ∑ n =1 (−1) n hội tụ. ∞ 1 Tại x = 1 ta có chuỗi ∑ n =1 n phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x 4. Một số ví dụ (tt): ∞ 2n xVD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n.9 n ∞ Đặt X=x 2 , chuỗi ban đầu trở thành ∑a X n =1 n n 1 an = n Ta có: n.9 n an = n1 →1 9 n 9 Vậy R=94. Một số ví dụ - VD3(tt): ∗Khoảng hội tụ của chuỗi là 2 x < 3⇔ -3< x < 3 ∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x=± 3: ∞ Tại x = ± 3 ta có chuỗi ∑ 1 phân kỳ. n =1 ...