Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE

Cho (V, ) – KG Euclide. Với mỗi u  V ta định nghĩa và ký hiệu độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u :  u, u  Nếu u  1 thì u được gọi là vectơ đơn vị. Ví dụ 3: Trong Rn, u  (u1 ,u 2 ,..., u n ) , ta có: 2 2 2 u  u1  u 2  ...  u 2  (u1  u 2  ...  u 2 )1/2 2 n n Vậy S'  {v1 , v 2 , v3} là hệ trực chuẩn hóa của hệ S....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE 4.1. Không gian Euclide 4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ u, v  V là ánh xạ ,  : V  V  R (u, v)  u ,v thỏa 4 tiên đề sau: u, v, w V, k R 1.  u, v   v, u  2.  u  v, w   u, w    v, w  3.  ku, v   k  u, v  4. u,u   0, u, u   0  u  θ Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide. Ví dụ 1: Trong KGVT R2, R3 các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường:       u, v  | u | . | v | cos(u, v) thì R2, R3 là các KG Euclide. Ví dụ 2: Xét KGVT Rn với u  (u1 ,u 2 ,...,u n ), v  (v1 , v 2 ,..., v n ) , ta định nghĩa: u, v  u1v1  u 2 v 2  ...  u n v n thì (Rn, < , >) là KGVT Euclide. 4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide, các bất đẳng thức. Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi u  V ta định nghĩa và ký hiệu độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u :  u, u  Nếu u  1 thì u được gọi là vectơ đơn vị. Ví dụ 3: Trong Rn, u  (u1 ,u 2 ,..., u n ) , ta có: u  u12  u 22  ...  u 2n  (u12  u 22  ...  u 2n )1/2 Tính chất của độ dài. Độ dài của vectơ có các tinh chất sau: 1. u  0, u  0  u  θ 2. ku  |k| u 3. u  v  u  v Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ u, v V được cho bởi công thức: ^  u, v  cos(u, v) : u.v Bất đẳng thức Cauchy – Schwars (BĐT C-S): Cho (V, < , >) – KG Euclide. Khi đó u, v V thì | u, v |  u . v . Dấu  xảy ra khi và chỉ khi u,v tỉ lệ. Áp dụng BĐT C-S vào KG Euclide Rn ta có BĐT Bunnhiacopsky: u  (u1 ,u 2 ,...,u n ), v  (v1 , v 2 ,..., v n ) thì (u1v1  u 2 v 2  ...  u n v n )2  (u12  u 22  ...  u n2 )(v12  v 22  ...  v n2 ) 4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid 4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn. Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu u v, nếu  u, v   0. Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ u1 , u 2 ,, u k  V là i) trực giao nếu  u i , u j   0, i, j  1,...,k, i  j. ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và u i  1, i  1,..., k. Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến tính. Định lý 2: Giả sử S  {u1 , u 2 ,, u n } là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn) S'  {v1 , v 2 ,, v n } sao cho span{u1 , u 2 ,, u k } = span{v1 , v 2 ,, v k },k  1,2,...,n. 4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt. Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt u1 , u 2 ,, u n  . Quá trình trực trao: Đặt v1  u1 ,  u 2 , v1  v2  u 2  v1 ,  v1 , v1  . . . . . . n 1  u n , vi  vn  u n   vi . i 1  vi , v i  Khi đó v1 , v 2 ,, v n  là hệ trực giao. Quá trình trực chuẩn: Đặt u1 v1  , u1 v2 v 2  u 2   u 2 , v1  v1 ,  v2  v2 . . . . . . n 1 vn v n  u n    u n , vi  vi  vn  i1 vn Khi đó v1 , v 2 ,, v n  là hệ trực chuẩn. Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ S  {u1 , u 2 , u 3} trong R3 u1  (1,1,1), u 2  (1,1,1), u 3  (1, 2,1) Giải: u1 1 1 1  v1  ( , , ), u1 3 3 3 1 1 1 1 4 2 2  v 2  u 2   u 2 , v1  v1  (1,1,1)  ( , , )  ( , , ) 3 3 3 3 3 3 3 2 6 v2 2 1 1 v2   v2   ( , , ), ...