Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Hình thang cong. Hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b] là phần mặt phẳng toạ độ được giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Ch¬ng 5. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.1. Bµi to¸n dÉn ®Õn kh¸i niÖm tÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.1.1. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong. a. H×nh thang cong. H×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f (x) trªn [a; b] lµ phÇn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®îc giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = f(x), y = 0, x = a vµ x = b. b. Bµi to¸n. H·y tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm y = f (x) trªn [a; b]. Gäi S lµ diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f(x) trªn [a; b] vµ T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n ®o¹n tuú ý bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2 5.2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.2.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh. Trong phÇn nµy ta lu«n gi¶ thiÕt a, b lµ c¸c sè h÷u h¹n vµ a < b. §Þnh nghÜa 5.1. Cho hµm f(x) x¸c ®Þnh trªn [a; b]. Gäi T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n ®o¹n tuú ý bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2 b); ∫ f ( x ) d x = 0 (nÕu a = b). ta cã: a b a 2 b ∫ f ( x) dx §Þnh nghÜa 5.2. NÕu hµm f(x) cã tÝch ph©n x¸c ®Þnh trªn [a; b] vµ lµ a sè h÷u h¹n th× hµm f(x) ®îc gäi lµ kh¶ tÝch trªn [a; b]. §Þnh lý 5.1. NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] th× f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. §Þnh lý 5.2. NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] trõ ra mét sè h÷u h¹n c¸c ®iÓm t¹i ®ã hµm sè gi¸n ®o¹n lo¹i 1. Th× f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. b ∫ f ( x) dx NhËn xÐt 5.1. (i) NÕu hµm f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b] th× tån t¹i vµ h÷u a h¹n. MÆt kh¸c, theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh th× sù tån t¹i cña n ∑ f ( ck ) ∆ x lim = I (h÷u h¹n) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän phÐp chia T vµ c¸ch k n →+∞ k =1 l ( T ) →0 b ∫ f ( x) dx chän c¸c ®iÓm ck. V× vËy, khi tÝnh b»ng ®Þnh nghÜa, mµ hµm f(x) kh¶ a tÝch trªn [a; b] th× cã thÓ chän phÐp chia T ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm c k ®Æc biÖt b ∫ f ( x) dx . vÉn kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ cña a (ii) Tõ ®Þnh nghÜa 5.1 vµ ph¬ng ph¸p tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å b ∫ f ( x) dx thÞ hµm f(x) trªn [a; b], ta thÊy nÕu f(x) > 0 trªn [a; b] th× lµ diÖn tÝch a h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f(x) trªn [a; b]. VÝ dô 5.1. Dïng ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: b b ∫a ∫a xd x . d x , (ii) ( i) 3 b ∫a d x . f(x) = 1 (∀x∈[a; b]) ⇒ f(x) liªn tôc trªn [a; b]. Do ®ã kh¶ tÝch trªn Gi¶i. (i) [a; b]. Theo nhËn xÐt 5.1 cã thÓ chän phÐp chia [a; b] ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm ck ®Æc biÖt nh sau: Gäi T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n phÇn b»ng nhau bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2 Trong phÇn nµy ta lu«n gi¶ thiÕt c¸c hµm d íi dÊu tÝch ph©n ®Òu kh¶ tÝch trªn ®o¹n lÊy tÝch ph©n t¬ng øng. TÝnh chÊt 5.1. Cã thÓ ®a mét h»ng sè trong dÊu tÝch ph©n ra ngoµi dÊu tÝch ph©n, tøc lµ: b b k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x (k lµ h»ng sè). ∫a a b b b f ( x) ± g ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx . ...