Chương 6. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Giả sử X là một không gian vectơ (KGVT) trên R. Ánh xạ f : X  X  X được gọi là một dạng song tuyến tính (DSTT), nếu x, x , y, y  X, λ  R ta có: 1) f(x + x , y) = f(x, y) + f(x , y), 2) f(λx, y) = λf(x, y), 3) f(x, y + y) = f(x, y) + f(x, y), 4) f(x,λy) = λf(x, y). Nói cách khác, f(x,y) là tuyến tính theo từng biến. Chú ý 1: Điều kiện 1) + 2) có thể thay thế bởi...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG Chương 6. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG6.1. Dạng song tuyến tính6.2. Dạng toàn phương6.3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương6.4. Luật quán tính và dạng toàn phương xác định dấu6.1. Dạng song tuyến tính6.1.1. Định nghĩa và các ví dụ.Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vectơ (KGVT) trên R. Ánh xạf : X  X  X được gọi là một dạng song tuyến tính (DSTT), nếux, x , y, y  X, λ  R ta có: 1) f(x + x , y) = f(x, y) + f(x , y), 2) f(λx, y) = λf(x, y), 3) f(x, y + y) = f(x, y) + f(x, y), 4) f(x,λy) = λf(x, y).Nói cách khác, f(x,y) là tuyến tính theo từng biến.Chú ý 1: Điều kiện 1) + 2) có thể thay thế bởi điều kiện sau: 1’) f(λx  μx , y) = λf(x, y)  μf (x , y) , x, x , y  X, λ,μ  R . Điều kiện 3) + 4) có thể thay thế bởi điều kiện sau: 2’) f(x,λy  μy) = λf(x, y)  μf (x, y) , x, y, y  X, λ,μ  R .Nói cách khác , f(x,y) là tuyến tính theo từng biến, tức là f(x,y) tuyến tính đối với x khiy cố định và tuyến tính đối với y khi x cố định.Ví dụ 1: Cho f : C[a,b]  C[a,b]  R b f(u, v)   u(t)v(t)dt, u, v  C[a,b] - là một DSTT trên C[a,b]. aVí dụ 2: Cho f : R  R 2  R 2 f(x, y)  2x1 y1  3x1 y2  2x 2 y1  x 2 y 2 ; x  (x1 , x 2 ), y  (y1 , y 2 )  R 2 - làmột DSTT trên R2.Ví dụ 3: Cho f : R  R  R . f (x, y)  c - là một DSTT?Giải: * Nếu c = 0, dễ dàng kiểm tra được f thỏa mãn 4 điều kiện của DSTT . Vậy f(x,y)= 0 là DSTT. * Nếu c  0 , ta thấy với λ  1 : f (x, y)  c  λc  f (λx, y) .Vậy f không là DSTT.6.1.2. Biểu diễn dạng song tuyến tính.Định lý 1: Mọi DSTT f(x,y) trong không gian tuyến tính (KGTT) n chiều với cơ sở (e)={e1, e2,…, en} cho trước có thể biểu diễn duy nhất với dạng: n f (x, y)   a ij x i y j (1) , i, j1trong đó x ={x1, x2,…, xn} , y ={y1, y2,…, yn} là các tọa độ của x, y trong cơ sở (e), cònai j= f(ei, ej).  a11 a12  a1n  a a  a Định nghĩa 2: Ma trận A =  21 22 2n  trong đó ai j= f(ei, ej), gọi là ma trận          a n1 a n 2  a nn của DSTT trong cơ sở (e).Chú ý 2: Ma trận vuông A = (a ij )i,n j1 bất kỳ là ma trận của DSTT nào đó trong cơ sở(e) ={e1, e2,…, en}.Để thấy điều đó chỉ cần đặt n f (x, y)   a ij x i y j . i, j1Chú ý 3: Nếu các tọa độ của các vectơ viết dưới dạng ma trận cột  x1   y1  x  y  x  2  , y   2  , và x T  (x1 , x 2 ,..., x n )            xn   yn thì công thức (1) trở thành: f (x, y)  x T .A.yĐịnh nghĩa 3: DSTT f được gọi là đối xứng (phản đối xứng) nếu f(x, y) = f(y, x), x, y  X. (f(x, y) = - f(y, x), x, y  X)Chú ý 4: 1) Nếu DSTT f là đối xứng thì ma trận A của nó trong một cơ sở nào đó là đốixứng và ngược lại. 2) Nếu DSTT f là phản đối xứng thì ma trận A của nó trong một cơ sở nào đó làphản đối xứng và ngược lại.Định nghĩa 4: Hạng của DSTT f (x,y) là hạng của ma trận của nó trong một cơ sở nàođó và kí hiệu là rankf. Vậy rankf = r(A).Định nghĩa 5: DSTT f (x,y) cho trong KGTT X n chiều gọi là không suy biến (tươngứng, suy biến), nếu rankf = n (tương ứng, rankf < n).6.1.3. Sự biến đổi của ma trận DSTT khi chuyển sang cơ sở mới.Định lý 1: Giả sử trong không gian tuyến tính (KGTT) X n chiều cho hai cơ sở(e)  e1 , e 2 ,, e n  và (e)   e1 , e2 ,, en  . Tee là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơsở (e) , A e và A e là hai ma trận tương ứng của cùng một DSTT f(x,y) trong (e) và (e) .Khi đó ta có: A e  TeeT .A e .Te e (2),trong đó TeTe là ma trận chuyển vị của Tee .Ghi chú 1: Ta có det Te e  0, r(A e )  r(A e ).Ghi chú 2: Như đã nói đến ở chương KGVT, một vectơ ej của hệ cơ sở(e)  e1 , e 2 ,, e n  có tọa độ trong hệ cơ sở (e) là ej = (0,0,…,0,1,0,…,0) và một vectơx có biểu diễn: x  x1e1  x 2 e 2  ...  x n e n có tọa độ x  (x1 , x 2 ,..., x n ) trong cơ sở (e).Do đó từ nay nếu không nói gì thêm, thì ta luôn hiểu hệ (e), xác định như trên là cơ sởchính tắc và nói cho x  (x1 , x 2 ,..., x n ) thì hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chínhtắc.Ví dụ 4: Trong R3 với cơ ...