Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS trình bày về những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, một số bất đẳng thức cân nhớ, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức kèm theo bài tập ví dụ. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCSChuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS A - phÇn më ®Çu B - Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ BÊt ®¼ng thøcI - §Þnh nghÜa: Cho hai sè: a, b ta nãisè a lín h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a > b nÕu a - b > 0 sè a nhá h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a < b nÕu a - b < 0II - TÝnh chÊt: 1) a > b ⇔ b < a At ®¬n ®iÖu) 2) a < b, c < d ⇒ a + c < b +d (Céng hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu víi chóng) 3) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trõ hai BÊt ®¼ng thøc ngùoc chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cã chiÒu lµ chiÒu cña BÊt ®¼ng thøc bÞ trõ) 4) Nh©n hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc a < b víi cïng mét sè a.m < b.m, m > 0 m a b.m, m < 0 5) Nh©n hai vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc kh«ng ©m cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu: 0 b ⇒ an+1>b2n+1 vµ ann>0; a>1 ⇒ am > an; am < an víi 0 < a Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c tÝnh chÊt trªn cã thÓ chøng minh nhê ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt tríc.III - Mét sè BÊt ®¼ng thøc c©n nhí: 1) A 2k ≥ víi mäi A, DÊu= x¶y ra khi A=0 0 2) A ≥ 0, ∀A DÊu = x¶y ra khi A=0. 3) − A ≤ A ≤ A 4) A + B ≤ A + B DÊu = x¶y ra khi A.B ≥ 0 5) A − B ≥ A − B DÊu = x¶y ra khi A.B ≥ 0 vµ A ≥ B Chó ý:- Ngoµi c¸c BÊt ®¼ng thøc trªn cßn mét sè c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óngkh¸c mang tÝnh tæng qu¸t h¬n nªn khi gi¶i bµi tËp cÇn chó ý.- Khi chøng minh song BÊt ®¼ng thøc a ≤ b ta ph¶i xÐt trêng hîp DÊu“=” x¶y ra khi nµo. c- c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc I -Ph¬ng ph¸p 1: ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa: (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn M¹nh Hëng) 1-Néi dung ph¬ng ph¸p:§Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc A>B ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc A-B >0 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông - C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Æc biÖt lµ: (A+B) 2=A+2AB+B2 n n 2 n - Tæng qu¸t: ( ∑ Ai) i =1 2 = ∑ Ai + 2 i =1 ∑ Ai. Aj; i < j i , j =1., 2 -2- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c kỹ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt ®Ó biÕn ®æi hiÖu hai vÕ vÒc¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng hay ®iÒu kiÖn ®óng cña ®Ò bµi: 3-Bµi tËp ¸p dông Bµi 1- Chøng minh BÊt ®¼ng thøc a2+b2 ≥ab Gi¶i 1 3 1 3XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+ 1 b2- 2. 4 ab)+ b2=( a- b)2+ b2 ≥ ®óng 0 2 4 2 4 1 2 3 2 1 3víi mäi a, b v× ( a- b) ≥0; b ≥0 DÊu = x¶y ra khi (a- b)2= 2 4 2 4b2=0 suy ra a = b = 0VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2 ≥ab n nTa cã thÓ chøng minh cho Bµi to¸n tæng qu¸t: (an)2+(bn)2 ≥a .b Bµi 2 - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0 Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCSVËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.Bµi 3: Cho a ≤ b ≤ c vµ x ≤ y ≤ z h·y chøng minh r»ng: a + b x + y ax + by . ≤ 2 2 2 Gi¶i a +b x +y ax +by 1XÐt hiÖu: . − = (ax+ay+by+bx-2ax-2by) 2 2 2 4 1 1 = [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) ≤ 0 ( do x ≤ y vµ a ≤ b ) 4 4DÊu = x¶y ra khi x=y hoÆc a=bVËy BÊt ®¼ng thøc thùc ®îc chøng minhChøng minh t¬ng tù ta ®îc BÊt ®¼ng thøc:a + b + c x + y + z ax + by + cz . ≤ 3 3 3B¹n ®äc cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n.Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a2+b2+c2+d2+e2 ≥a(b+c+d +e) Gi¶iXÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae 1 = ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) 4 1 = [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] 4 1 = [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] ≥0 4Do (a+2b)2 ≥0 vµ (a+2c)2 ≥0 vµ (a+2d)2 ≥ vµ (a+2e )2 ≥ 0 0 aDÊu = x¶y ra khi b = c = d = e = 2VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.Bµi 5: Tæng qu¸t bµi 4 -4- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCSCho ai i=1,2,..,n lµ c¸c sæ thùc. chøng minh r»ng: n n 2∑a a1 ∑ai 2 i ≥ i =1 n − 1 i =2 Chøng minh t¬ng tù bµi 4 4- Bµi tËp ¸p dông:H·y chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau:1/ 4.x2+y 2 ≥4xy2/ x2+y2 +1 ≥ +x+y xy3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) ≤4(x11+y11)4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995) ≥(x+y+z):35/ (a3+b3+c3) ≥(a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >06/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a 8 + b8 + c 8 1 1 1a/ ≥ + + ...