Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Bến Tre

“Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Bến Tre” là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn chuẩn bị tham gia bài thi chọn đội tuyển HSG sắp tới. Luyện tập với đề thường xuyên giúp các em học sinh củng cố kiến thức đã học và đạt điểm cao trong kì thi này, mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Bến TreSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI BẾN TRE LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)Câu 1 (5 điểm) Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0( ∈ ) và [ ; ]là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ).Tìm ( )theo t. b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , nếu + + =1 √ thì + + < . ( ) ( ) ( )Câu 2 (5 điểm) Cho tam giác ABC có = 60 , > .Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF ( ∈ , ∈ ). Trên cáccạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = . Tính giá trị của .Câu 3 (5 điểm) Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là sốnguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 họcsinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấyrằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùngmột ngày. a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích. b) Chứng minh rằng là số lẻ.Câu 4 (5 điểm) Xác định tất cả các hàm : → à : → thỏa mãn đồng thời các điềukiện: (1) Với mọi , ∈ :2 ( ) ( )= ( ) ; (2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1. HẾTSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẾN TRE KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN+ Hướng dẫn chung: (nếu có)………………………………………………………………………………………………………Câu Nội dung Điểm Ghi chú Giải sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1= 0( ∈ ) và [ ; ]là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ).Tìm ( )theo t. 1 b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , 5 nếu + + = 1 thì √ + + < . ( ) ( ) ( )1a) Đặt   x1  x2   khi đó 4 x12  4tx1  1  0, 4 x22  4tx2  1  0 1 1 Do đó: 4( x12  x12 )  4t ( x1  x2 )  2  0  2 x1 x2  t ( x1  x2 )   0 2 2 x2  t 2 x1  t ( x2  x1 ) t ( x2  x1 )  2 x1 x2  2 Vì f ( x2 )  f ( x1 )    x22  1 x12  1 ( x22  1)( x12  1) 1 1 Và t ( x2  x1 )  2 x1 x2  2  t ( x2  x1 )  2 x1 x2  0 2 vì vậy f ( x2 )  f ( x1 )  0 nên f ( x) là một hàm tăng trên  ;   1 Vì     t và   4 5 ...