Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc (Đề chính thức) gồm 5 câu hỏi trong thời gian làm bài 180 phút, mời các bạn cùng tham khảo để củng cố lại kiến thức của mình và làm quen với dạng đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc (Đề chính thức)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 02/11/2012.  2 8  x + 3x + 2 = y − 5 y − 1   8Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình  y 2 + 3 y + 2 = − 5 z − 1 ( x, y , z ∈ ℝ )  z  2 8  z + 3z + 2 = x − 5 x − 1 Câu 2 (1,5 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3a bc 2b3d 25 2. + 3. 3 + 4. 4 ≤ a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) 6 3Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử n là một số nguyên dương sao cho 3n + 2n chia hết cho 7 . Tìm sốdư của 2n + 11n + 2012n khi chia cho 7 . 2Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD. Gọi P là điểm sao cho trung trực của đoạnthẳng CP chia đôi đoạn AD và trung trực của đoạn AP chia đôi đoạn CD. Gọi Q là trungđiểm của đoạn thẳng BP. a) Chứng minh rằng đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC. b) Chứng minh rằng BP = 4.OE , trong đó E là trung điểm của AC và O là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác AQC .Câu 5 (1,0 điểm). Cho m, n ( m > n > 4 ) là các số nguyên dương và A là một tập hợp con cóđúng n phần tử c ủa tập hợ p S = {1, 2,3,..., m} . Chứng minh rằng n ếum > ( n − 1) (1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 ) thì ta luôn chọn được n phần tử đôi một phân biệtx1 , x2 ,..., xn ∈ S sao cho các tập hợp Ai = {x + y + xi x ∈ A, y ∈ A}, i = 1, n thỏa mãnAj ∩ Ak = ∅ với mọi j ≠ k và j , k = 1, n . -----------------Hết----------------- - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh……………..SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài:-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làmcủa học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả saiđó không được điểm.-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.-Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung 1 8Điều kiện: x, y, z ≥ . Xét các hàm số f (t ) = t 2 + 3t + 2, g (t ) = − 5t − 1 . Khi đó ta có 5 t 8 5 1f (t ) = 2t + 3 > 0, g (t ) = − − < 0, ∀t > . 2 5t − 1 2 t 5 1  1 Mà f (t ) , g (t ) là các hàm số liên tục trên  ; + ∞  suy ra f (t ) đồng biến trên  ; + ∞  5  5  1 và g (t ) nghịch biến trên  ; + ∞  . Không mất tính tổng quát ta giả sử x = min {x, y, z} . 5 Khi đó ta có:Nếu x < y ⇒ g ( x ) > g ( y ) ⇒ f ( z ) > f ( x ) ⇒ z > x ⇒ g ( z ) < g ( x ) ⇒ f ( y ) < f ( z ) suyra y < z ⇒ g ( y ) > g ( z ) ⇒ f ( x ) > f ( y ) ⇒ x > y , vô lí vì x < y .Do vậy x = y , tương tự lí luận như trên ta được x = z suy ra x = y = z . Thay trở lại hệ ta 8 8được x 2 + 3 x + 2 = − 5 x − 1 ⇔ x 2 + 3 x + 2 − + 5 x − 1 = 0 (1). x x 8 1 Đặt h ( x ) = x 2 + 3 x + 2 − + 5 x − 1, x ∈  ; +∞  . Dễ thấy hàm số đồng biến trên x 5  2 Nội dung1  5 ; + ∞  và h (1) = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Vậy nghiệm củahệ phương trình đã cho là x = y = z = 1.Câu 2. (1,5 điểm) Nội dung Điểm 3a bc 2b3 dĐặt P = 2 + 33 ...