Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 - Môn Toán

Tài liệu tham khảo đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 - Môn Toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 - Môn Toán 1Trư ng Đ i h c Bách Khoa Hà N i Đ thi tuy n ch n h k sư tài năng năm 2000 Toán Môn thi : Th i gian làm bài : 90 phút 1Bài 1: Cho dãy s x1 , x2 , . . . , xn , . . . , xác đ nh như sau:xn > 0, xn = ln(1 + xn−1 )∀n ≥ 1 Ch ng minh r ng dãy s y h i t đ n m t gi i h n l.Tính l.Bài 2: Ch ng minh r ng n u f (x) là hàm s xác đ nh trên R, th a mãn đi u ki n |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ |x1 − x2 |3, ∀x1 , x2 ∈ R,thì f (x) là hàm h ng.Bài 3: f (x) là m t hàm s xác đ nh và liên t c t i m i x = 0, l y giá tr ≤ 0 ,th a mãn đi u ki n x f (x) ≤ k f (t)dt.∀x ≥ 0 0trong đó k là m t h ng s dương, Ch ng minh r ng f (x) = 0, ∀x ≥ 0. x (G i ý : Có th xét s bi n thiên c a hàm s F (x) = e−kx 0 f (t)dt trênkho ng (0, +∞))Bài 4: Hàm s f (x) th a mãn đi u ki n f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Ch ng minh r ng f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − x)f (y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1).Bài 5: Cho s th c k1 , k2 , . . . , kn , khác nhau t ng đôi m t. Ch ng minh r ng a1 ek1x + a2 ek2x + . . . + an eknx = 0 ∀x ∈ RKhi và ch khi a1 = a2 = . . . = an = 0. 1 Tài li u đư c so n th o l i b ng L TEX 2ε b i Ph m duy Hi p A