Giáo trình giải tich 3 part 5

Ví dụ. Đường tròn đơn vị có thể tham số hoá bởi ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ (0, 2π). Khi đó trường vector tiếp xúc ϕ (t) = (− sin t, cos t) xác định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tich 3 part 5 IV. Tích phaân daïng vi phaân1. ÑÒNH HÖÔÙNG1.1 Tröôøng vector. Cho M ⊂ Rn . Moät tröôøng vector treân M laø aùnh xaï F : M → Rn , F (x) = (F1 (x), · · · , Fn (x))Veà maët hình hoïc xem tröôøng vector nhö hoï vector coù ñieåm goác ñaët taïi x. F (x)1.2 Ñònh höôùng ñöôøng cong. Ñöôøng cong trôn C ⊂ R3 , goïi laø ñònh höôùng τ neáuuτ : C → R3 laø tröôøng vector lieân tuïc vaø tieáp xuùc vôùi C , i.e. τ (x) tieáp xuùc vôùi C taïix, vôùi moïi x ∈ C . r τ (x) ‰ rrr rt x C XVí duï. Ñöôøng troøn ñôn vò coù theå tham soá hoaù bôûi ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ (0, 2π ).Khi ñoù tröôøng vector tieáp xuùc ϕ (t) = (− sin t, cos t) xaùc ñònh höôùng ngöôïc chieàu kimñoàng hoà.1.3 Ñònh höôùng maët. Cho S laø maët cong trôn. Ta noùi S laø ñònh höôùng ñöôïc ⊂ R3neáuu toàn taïi tröôøng vector phaùp lieân tuïc treân S , i.e. toàn taïi N : S → R 3 , lieân tuïc vaøN (x) ⊥ Tx S, ∀x ∈ S .Khi ñoù S goïi laø ñònh höôùng phaùp N . ffN (x) w f f xfs E S 42IV.1. Ñònh höôùng.Ví duï.a) Maët caàu laø ñònh höôùng ñöôïc vaø coù theå choïn moät trong hai höôùng: höôùng phaùp tronghay höôùng phaùp ngoaøi. Cuï theå khi tham soá hoaù maët caàu bôûi ϕ(φ, θ) = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ), (φ, θ) ∈ (0, 2π ) × (0, π ).Vôùi tham soá hoaù ñoù, caùc vector tieáp xuùc vôùi caùc ñöôøng toïa ñoä laø ∂ϕ ∂ϕ = (− sin φ sin θ, cos φ sin θ, 0), = (− cos φ cos θ, sin φ cos θ, − sin θ) ∂φ ∂θ ∂ϕ ∂ϕDeã kieåm tra höôùng phaùp N = laø höôùng phaùp trong. × ∂φ ∂θb) Laù Mobius cho ta moät ví duï veà maët khoâng ñònh höôùng ñöôïc. ¨1.4 Ñònh höôùng khoâng gian vector.Döïa vaøo tröïc quan: treân R coù theå ñònh hai höôùng (döông neáu cuøng höôùng vôùi chieàutaêng, aâm neáu ngöôïc laïi). Trong R2 coù theå ñònh hai höôùng (thuaän hay ngöôïc chieàukim ñoàng hoà). Ta coù ñònh nghóa sau.Cho V laø khoâng gian vector k chieàu treân R. Trong Ñaïi soá tuyeán tính ta ñaõ bieát laøneáu (v1 , · · · , vk ) vaø (w1 , · · · , wk ) laø caùc cô sôû cuûa V , thì toàn taïi ma traän chuyeån côsôû P = (pij )k×k sao cho wj = i pij vi .Ta noùi (v1 , · · · , vk ) vaø (w1 , · · · , wk ) cuøng höôùng neáuu det P > 0, (v1 , · · · , vk ) vaø (w1 , · · · , wk ) ngöôïc höôùng neáuu det P < 0.Nhö vaäy treân taäp caùc cô sôû cuûa V ñöôïc chia thaønh hai lôùp töông ñöông, moãi lôùpgoàm caùc cô sôû cuøng höôùng vôùi nhau. Lôùp cuønh höôùng vôùi (v 1 , · · · , vk ) kyù hieäu laø[v1 , · · · , vk ], lôùp caùc cô sô ngöôïc höôùng kyù hieäu laø −[v 1 , · · · , vk ].Khoâng gian V goïi laø ñaõ ñònh höôùng µ neáu ta choïn moät höôùng µ = [v1 , · · · , vk ].Ví duï. Trong Rk cô sôû chính taéc xaùc ñònh höôùng chính taéc . Theo ngoân ngöõ tröïc quan,höôùng chính taéc trong R laø höôùng döông, höôùng chính taéc trong R 2 laø höôùng ngöôïcchieàu kim ñoàng hoà, coøn höôùng chính taéc trong R 3 laø höôùng tam dieän thuaän. → → e2 e3 → T T e2 $ → → → E E E e1 e1 e1 Höôùng chính taéc cuûa R1 , R2 , R31.5 Ñònh höôùng ña taïp. Cho M ⊂ Rn laø ña taïp khaû vi k chieàu.Moät hoï höôùng µ = {µx : µx laø moät höôùng treân Tx M, x ∈ M } goïi laø töông thích neáuuchuùng bieán ñoåi moät caùch lieân tuïc theo nghóa sau: vôùi moïi a ∈ M , toàn taïi tham soá hoaù(ϕ, U ) taïi a sao cho [D1 ϕ(u), · · · , Dk ϕ(u)] = µϕ(u) , vôùi moïi u ∈ U . 43IV.1. Ñònh höôùng. g ...