Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2

Nối tiếp phần 1 cuốn "Giáo trình Toán cao cấp" mời các bạn cùng tìm hiểu phần 2 để nắm bắt một số thông tin cơ bản về ma trận - định thức - hệ phương trình đại số tuyến tính; hàm hai biến; phương trình vi phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 86 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy CHƯƠNG 4 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4.1. Ma trận và các khái niệm 4.1.1 Định nghĩa ma trận:  Ma trận là một bảng hình chữ nhật, trên đó sắp xếp các phần tử ( là các số ) theo các hàng và các cột. Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ; còn các phần tử thường được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , ….  Giả sử ma trận có m hàng, n cột, khi đó để chỉ phần tử hàng i (từ trên xuống), cột j ( từ trái qua phải) ta ký hiệu : aij ( chỉ số hàng trước, chỉ số cột sau). Các phần tử của ma trận được nằm trong dấu [ ] , hoặc ( ) , hoặc || || , nó có dạng :  a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a 1n  a11 a12 ... a1n a a ... a 2n  a a 22 ... a 2n  a 21 a 22 ... a 2n A   21 22 ; A  ; A 21  ... ... ... ...   ... ... ... ...  ...      a m1 a m 2 ... a mn  m  n  a m1 a m 2 ... a mn  m  n a m1 a m 2 ... a mn mn  Ma trận có m hàng và n cột thì cỡ của ma trận là m  n ,  a ij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j,   Ký hiệu: A  a ij mn , A  a ij  mn .  Khi m = n (số hàng bằng số cột) thì A gọi là ma trận vuông cấp n. Ví dụ 1 2  3 1   A   2  1 1 2  là ma trận cỡ 3 4 , a11  1 , a 24  2 … 6 2 4 6   1  3 1  B   7 1 8  là ma trận cỡ 3  3 (ma trận vuông cấp 3).  2 0 0  3  3 Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 87 4.1.2 Các khái niệm liên quan đến ma trận Đường chéo chính. Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên một đường thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi là các phần tử chéo. ( chú ý : khái niệm về đường chéo chính chỉ có trong ma trận vuông) Ma trận tam giác. Cho ma trận A vuông cấp n. +) Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0 (Tức là: aij = 0 với mọi i > j).  a11 a12 ... a1n   0 a22 ... a2 n  A  ... ... ... ...     0 0 ... ann n  n +) Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0( tức là: aij = 0 với mọi i < j).  a11 0 ... 0  a a22 ... 0  A   21   ... ... ... ...     an 1 an 2 ... ann  n  n Ma trận chéo. Ma trận vuông A có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận chéo.  a11 0 ... 0   0 a22 ... 0  A   ... ... ... ...     0 0 ... ann n  n Ma trận chéo vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới. Ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu là In (hoặc En) là ma trận đơn vị cấp n. 1 0 ... 0 0 1 ... 0 In     ... ... ... ...    0 0 ... ...