Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Bài toán vận tải; Một số bài toán ứng dụng của bài toán quy hoạch tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Chương 3 BÀI TOÁN VẬN TẢI 1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 1.1. Nội dung kinh tế và các dạng toán học của bài toán vận tải 1.1.1. Nội dung kinh tế của bài toán Giả sử cần vận chuyển một loại hàng hóa từ m trạm phát, ký hiệu là A i (i = 1, m ). Lượng hàng cần chuyển đi ở mỗi trạm A i tương ứng là ai (đơn vị hàng), tới n trạm cần thu hàng, ký hiệu B j (j = 1, n ), lượng hàng cần thu về ở mỗi trạm B j tương ứng bj (đơn vị hàng). Giả sử cước phí vận chuyển từ trạm phát hàng A i tới trạm thu B j là cij (đơn vị tùy theo qui ước). m n Giả thiết ai > 0, bj > 0, cij  0 ( i  1, m, j  1, n ) và  a i   b j  Q (bài toán i 1 j1 cân bằng thu phát). Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất đồng thời thoả mãn nhu cầu thu phát hàng (các trạm phát, phát hết hàng và các trạm thu, thu đủ hàng). 1.1.2. Mô hình toán học của bài toán Xác định kế hoạch vận chuyển hàng nghĩa là xác định lượng hàng cần chuyển đi từ các trạm phát tới các trạm thu tương ứng. Gọi xij là lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát A i tới trạm thu B j (xij  0, i = 1, m , j = 1, n ). n Mọi trạm phát, phát hết hàng nên ta có:  x ij  a i , i  1, m . j 1 m Mọi trạm thu, thu đủ hàng nên ta có:  x ij  b j , j  1, n. i 1 m n Như vậy tổng chi phí vận chuyển là:   cijx ij , và đòi hỏi phải cực tiểu. i 1 j 1 Khi đó mô hình toán học của bài toán sẽ là: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - 59 - - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - m n f (X)   cij x ij  min (3.1) i 1 j1 n  x ij  a i , (i  1, m) (3.2) j 1 m  x ij  b j , ( j  1, n ) (3.3) i 1 xij  0 (i = 1, m , j = 1, n ). (3.4) Trong đó ma trận X = (xij)m.n được gọi là ma trận phân phối hàng cần phải tìm. Hàm f(X) được gọi là hàm mục tiêu và là tổng chi phí vận chuyển. Hiển nhiên (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) là mô hình toán học của một bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Chú ý: Bài toán vận tải (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) được viết dưới dạng tường minh như sau: c11x11 + c12x 12 + … + c1nx 1n + c 21x 21 + c22x22 + … + c2nx2n + … + cm1x m1 + cm2xm2 + … +c mnx mn  min. x11 + x 12 + … + x 1n = a1 x 21 + x22 + … + x2n = a2 ………………………………………………………………… x m1 + xm2 + … +x mn = am x11 + x21 + ………… …... + xm1 = b1 x12 + x22 + ……………….. + xm2 = b2 …………………………………………………………… + x1n + x2n + ………………. + xmn = bn Theo đó, ma trận ràng buộc A của bài toán (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) là: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - 60 - - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - 11...1 00...0 ... 00...0       00...0 11...1 ... 00...0  m  ... ... ... ...      00...0 00...0 ... 11...1  A  10...0 10...0 ... 10...0      01...0 01...0 ... 01...0     n  ... ... ... ...    00...1 00...1 ... 00...1    n n n Nhận thấy ma trận A được chia làm 2m khối: m khối của m dòng đầu thì ở mỗi khối là một ma trận cấp m.n có một dòng có các phần tử là 1, còn các dòng khác các phần tử đều là 0; khối thứ k có dòng thứ k là 1 với k = 1, m . Còn m khối của n dòng sau thì mỗi khối là một ma trận đơn vị cấp n. Gọi Aij là cột hệ số của ẩn xij , ta có Aij là véc tơ cột thứ j trong nhóm cột thứ i của ma trận A, khi đó ta luôn có Aij = Ei + E m + j,  i = 1, m, j  1, n , trong đó Ek là ma trận cấp (m.n, 1) có phần tử ở hàng thứ k là 1, các phần tử ...