HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) - 2

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.Ví dụ: xy – ex + ey = 0Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:y= Fx FyVí dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) - 2Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trìnhF(x,y) = 0Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩntừ phương trình F(x,y) = 0.Ví dụ: xy – ex + ey = 0Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Fx y   FyVí dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số haibiến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi làhàm ẩn từ phương trình F(x,y,zĐạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Fy F z z  x  y Fz x FzVí dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) 4. CỰC TRỊCực trị tự do:Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lâncận  của M0 sao cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ). F(M0) gọi chunglà cực trị.Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2Điều kiện cần để có cực trị:Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0)=0Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi z xx z xy Hđịnh thức Hessian: z yx z yy z xx z xy H 1  z xx , H 2  z yx z yyĐặt: Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại •Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x 3 + y3Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 =… fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặtTa có định thức Hessian: f11 f12 ... f1n f11 f12 f 21 f 22 ... f2n H 1  f11 , H 2  ,... H n  f 21 f 22 ... ... ... ... f n1 f n 2 ... f nn Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại •Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4zCực trị có điều kiện:Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điềukiện.Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên.Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0  Lx  f x   g x  0 thì:  L y  f y  g y  0  L  c  g ( x, y )  0 là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng.Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. z  1 x2  y2Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm L1  f1   g1  0Lagrange L = f + (c-g)  L  f  g  0 2 2 2  ........................ L  f  g  0 n n n L  c  g  0 Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức 0 gx gyHessian đóng: H  gx Lxx Lxy gy Lyx Lyy Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện • Nếu |H|Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. HàmLagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng: 0 g1 g2 ... gn g1 L11 L12 ... L1n H  g2 L21 L22 ... L2n ... ... ... ... ... gn Ln1 Ln 2 ... Lnn Nếu |H2|