Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắc

Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắcTóm tắt nội dung Nguyên tử hydro là một trong số rất ít những hệ nhiều hạt tương tác lẫn nhau mà phương trình Schr¨dinger của nó được giải một cách o chính xác. Những kết quả thu được phù hợp với thực nghiệm là một minh chứng về sự áp dụng của cơ học lượng tử vào một hệ hóa học cụ thể. Để chuẩn bị cho việc khảo sát nguyên tử hydro và các ion giống hydro, chúng ta tìm hiểu những hệ tương tự nhưng đơn giản hơn. ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắc Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắc Lý Lê Ngày 25 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Nguyên tử hydro là một trong số rất ít những hệ nhiều hạt tương tác lẫn nhau mà phương trình Schr¨dinger của nó được giải một cách o chính xác. Những kết quả thu được phù hợp với thực nghiệm là một minh chứng về sự áp dụng của cơ học lượng tử vào một hệ hóa học cụ thể. Để chuẩn bị cho việc khảo sát nguyên tử hydro và các ion giống hydro, chúng ta tìm hiểu những hệ tương tự nhưng đơn giản hơn.1 Trường xuyên tâmKhi hàm thế năng của hệ có tính đối xứng cầu, nghĩa là chỉ phụ thuộc vàokhoảng cách của hạt V = V (r), thì trường thế được tạo ra là trường xuyêntâm (central force). Một hạt khi chuyển động trong trường thế năng sẽ chịumột lực tác dụng là ∂V ∂V ∂V F = −i −j −k = −∇V (x, y, z) (1) ∂x ∂y ∂z Thế năng V là một hàm chỉ phụ thuộc vào bán kính r, không phụ thuộcvào θ và ϕ, nên ∂V ∂V = =0 ∂θ r,ϕ ∂ϕ r,θMặt khác, ta có x = r sin θ cos ϕ; y = r sin θ sin ϕ; z = r cos θ r 2 = x2 + y 2 + z 2Do đó ∂V dV ∂r x dV = = ∂x y,z dr ∂x y,z r dr ∂V dV ∂r y dV = = ∂y x,z dr ∂y x,z r dr ∂V dV ∂r z dV = = ∂z x,y dr ∂z x,y r dr 1Phương trình (1) trở thành 1 dV dV (r) r F=− (ix + jy + kz) = − (2) r dr dr r Hamiltonian của một hạt trong không gian ba chiều được viết như sau 2 H =− ∇2 + V (r) (3) 2mvới ∇2 là toán tử Laplacian. Trong hệ tọa độ Đê-các-tơ, ta có ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = + 2+ 2 (4) ∂x2 ∂y ∂zTrong hệ tọa độ cầu, ta có ∂2 2 ∂ 1 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇2 = + + 2 2 + 2 cot θ + 2 2 (5) ∂r 2 r ∂r r ∂θ r ∂θ r sin θ ∂ϕ2Mặt khác ∂2 ∂ 1 ∂2 L2 = − 2 ( + cot θ + ) ∂θ 2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2Vì vậy ∂2 2 ∂ 1 2 ∇2 = + − L (6) ∂r 2 r ∂r r 2 2Từ (3) và (6), ta được 2 ∂2 2 ∂ 1 H=− ( + )+ L2 + V (r) (7) 2m ∂r 2 r ∂r 2mr 2Khi r là hằng số, ta có ∂2 ∂ = =0 ∂r 2 ∂rvà nếu V (r) = 0 thì 1 H= L2 2mr 2Đây chính là Hamiltonian của hạt chuyển động trên một mặt cầu. Phương trình (7) cho ta thấy mối liên hệ giữa năng lượng và mô-mengóc. Câu hỏi được đặt ra là chúng ta có thể xác định đồng thời được cả nănglượng và mô-men góc hay không? Để trả lời câu hỏi này chúng ta xét tínhgiao hoán của H với L2 và với Lz . Ta có [H, L2 ] = [T , L2 ] + [V , L2 ] (8) 2Trước tiên, ta xét ∂22 2 ∂ 1 [T , L2 ] = [− + ( )+ L2 , L2 ] 2m ∂r 2 r ∂r 2mr 2 2 ∂2 2 ∂ 1 1 2 2 = − [( 2 + ), L2 ] + [ L ,L ] 2m ∂r r ∂r 2m r 2 2 ∂2 2 ∂ = − [( 2 + ), L2 ] + 0 2m ∂r r ∂rVì L2 chỉ phụ thuộc vào θ ...