Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace”

Người ta đã làm một số thí nghiệm, ví dụ như: chiếu tia tử ngoại (UV) có bước sóng λvào dung dịch rượu fluorêxêin thì dung dịch này phát ra ánh sáng màu xanh lục nhạt có bướcsóng λ’ và (λ’ λ). Sự phát sáng biến mất ngay sau khi ngừng kích thích ánh sáng tử ngoại.Hay chiếu tia UV vào tinh thể ZnS có pha một lượng rất nhỏ Cu và Co thì tinh thể cũng phátra ánh sáng có màu xanh lục, ánh sáng này tồn tại khá lâu sau khi ngừng kích thích. Hiệntượng tương tự...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace” Khóa luận tốt nghiệp“Phép biến đổi Laplace”Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 1: MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Toán họ c là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngànhkhoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tínhthực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lýhọ c một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán họ c.Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoagiữa toán họ c và vật lý học. N hững quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ họ c cổ điển giải quyếtgần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng củanhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sựphát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và b ề sâu. D ẫn tới sự ra đờicủa một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. N gười ta dùng phương pháp toán họ c để tìm ra những quy luật mới.N hững quy luật tổ ng quát hơn những quy luật đ ã biết, đoán trước được mốiquan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìmđược những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiềuhiện tượng xét mộ t cách tổ ng quát nhất. N hững phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rấtphong phú và đa dạng. Nó gồm mộ t khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngànhnhư: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tíchphân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinhviên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đố i với các môn họ c kháctrong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác củahọ sau khi ra trường. GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán họ c cũng như ứngdụng của nó trong vật lý. Đ ề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là mộ t trongsố những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọ ng trong vật lý. Nó giúpchúng ta giải quyết các bài toán vật lý mộ t cách đơn giản hơn. Vì vậy khichọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toándùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.2. Mục đích nghiên cứu- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trongnghiên cứu vật lý.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệtọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.3. Đối tượng nghiên cứu- Các phép biến đổ i Laplace và ý nghĩa của chúng.4. Phương pháp nghiên cứu- V ật lý lý thuyết- Phương pháp giải tích toán học- Đọc tài liệu và tra cứu5. Cấ u trúc khóa luậnĐ ề tài nghiên cứu gồm:- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes.- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.- Chương 3: Bài tập GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ D ESCARTES1. GRADIEN C ỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nóứng với một giá trị của mộ t đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho mộ t trườngvô hướng có nghĩa là cho mộ t hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộcvào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ D escartes Ox yz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗiđiểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểmnày. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) củatrường không thay đổ i theo thời gian, ta có trường dừng. N ếu f còn phụ thuộccả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổ i f (M, t). Đ ểbiểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tấtcả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt m ứctương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có mộ t mặt m ức, cho C cácgiá trị khác nhau ta có họ mặt mức.V í dụ như, đố i với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặtphẳng x + y + z = 1. Mặt mức đố i với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đốivới trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 3Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 1độ , ví dụ đ ối với trường m ặt mức u = 4 là hình cầu y x  y2  z2 2 1 1  4 hay x 2  y 2  z 2  . 2 2 2x y z 4 G iả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướngnào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được đ ịnh hướng(H.1.1). G iả sử M và M 1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cungMM 1 , S lấy dấu + nếu điểm M 1 đứ ng sau điểm M và M1 L ...