Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn

Luận văn gồm hai chương. Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, một số định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnh hình, đại số đều. Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNHVỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNHVỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG Cn Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2011Mục lụcLời nói đầu 21 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Một số định lý xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ . . . . . . . . . . 6 1.5 Đại số đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Bổ đề Kallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Đa tạp thuần túy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Vành chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn 22 2.1 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn . . . . 22 2.2 Xấp xỉ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Kết luận 38Tài liệu tham khảo 39 1Lời nói đầu Các tập lồi đa thức có vai trò quan trọng trong lý thuyết các hàmsố của hàm nhiều biến phức, đặc biệt liên quan đến bài toán xấp xỉ. Tronggiải tích cổ điển, chúng ta đã biết đến định lý Stone-Weirstrass về xấp xỉcác hàm liên tục bởi các đa thức trên các tập con compact trong Rn . Tronggiải tích hàm nhiều biến phức, theo định lý Oka-Weil nếu K là một tậplồi đa thức trong Cn thì một hàm chỉnh hình trong một lân cận của K cóthể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. Một tập con compact X của Cn gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểmz ∈ Cn \ X tồn tại đa thức P sao cho |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}.Không phải mọi tập con compact của Cn đều là lồi đa thức, vì vậy mộtvấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì một tập hợp trong Cn là lồi đa thức.Trong luận văn này, tác giả đề cập đến điều kiện để mọi tập con compactcủa hợp hai n-phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, một sốđịnh lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnh hình,đại số đều. Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ đơn giản về cáctập lồi đa thức trong Cn , đồng thời phát biểu và chứng minh bổ đề Kallinvề điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau làtập lồi đa thức. Tác giả cũng đưa ra áp dụng bổ đề Kallin để xét tính lồiđa thức của hợp các hình cầu trong Cn . 2 Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh địnhlý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trongCn là tập lồi đa thức. Trong trường hợp điều kiện của định lý này khôngđược thỏa mãn, tác giả đưa ra định lý về bao lồi đa thức của các tập concompact của hợp của hai n−phẳng thực trong Cn và hai định lý về xấp xỉđều các đa thức. Cuối chương này là ví dụ về một cặp đa tạp con thuầntúy thực trong C2 giao nhau chỉ tại gốc có hợp là tập lồi đa thức nhưnghợp của các không gian tiếp xúc tại 0 có các tập con compact không lồiđa thức. Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫnnhiệt tình của TS. Ninh Văn Thu. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giảitích của khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảovệ luận văn đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôncổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rấtmong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. Tác giả Hoàng Phương Khánh 3Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong Cn , ta có thể đồng nhất Cn với R2n . Xéthàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, ..., n. n n X ∂f X ∂f df = dxj + dyj j=1 ∂x j j=1 ∂y j n n X ∂f X ∂f = dzi + dzj , j=1 ∂z j j=1 ∂zjtrong đó ∂f 1 ∂f ∂f = −i , ∂zj 2 ∂xj ∂yj ∂f 1 ∂f ∂f = +i . ∂zj 2 ∂xj ∂yjĐịnh nghĩa 1.1. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác địnhtrong Ω với x, y ∈ Rn . Hàm f được g ...