
Lượng giác - 5.Phương trình hàm lượng giác
Thông tin tài liệu:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lượng giác - 5.Phương trình hàm lượng giácChöôn g Phöông 1: trìnhhaø m löôïnggiaùc PHẦN II: LƯỢNG GIÁC ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH ------------------------------------------- CHƯƠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁCI. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: a. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác:-Hàm f ( x ) = sin x có tính chất f ( 3x ) = 3 f ( x ) − 4 f 3 ( x ) , ∀x ∈ ¡ Quy ước: f 3 ( x ) = f ( x ) 3 -Hàm f ( x ) = co s x có tính chất f ( 2 x ) = 2 f 2 ( x ) − 1, ∀x ∈ ¡ và f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡-Cặp hàm f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x có tính chất f ( x + y ) = f ( x ) .g ( x ) + f ( y ) g ( x ) ; ∀x, y ∈ ¡ g ( x + y ) = g ( x ) g ( y ) − f ( x ) f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡ -Hàm f ( x ) = tgx có tính chất f ( x) + f ( y) f ( x + y) = 1 − f ( x) . f ( y ) ( 2k + 1) π π π + k π ; y ≠ + kπVới x, y , x + y ≠ (k ∈ ¢ ) , x ≠ 2 2 2-Hàm f ( x ) = cot gx có tính chất f ( x) . f ( y ) −1 f ( x + y) = f ( x) + f ( y)Với x, y , x + y ≠ kπ , ( k ∈ ¢ ) , x ≠ k π ; y ≠ kπ b. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác ngược:-Hàm f ( x ) = arcsin x có tính chất ( ) f ( x ) + f ( y ) = f x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ; ∀x, y ∈ [ −1;1]-Hàm g ( x ) = arccos x có tính chất ( ) g ( x ) + g ( y ) = g xy − 1 − x 2 . 1 − y 2 ; ∀x, y ∈ [ −1;1]-Hàm h ( x ) = arctgx có tính chất x+ y h ( x) + h ( y ) = h ; ∀x, y, xy ≠ 1 1 − xy Naê m hoïc2006 2007 – 62Chöôn g Phöông 1: trìnhhaø m löôïnggiaùc-Hàm p ( x ) = arc cot g có tính chất xy − 1 p ( x) + p ( y) = p ; ∀x, y , x + y ≠ 0 x+ y c.Phương trình hàm Cauchy:Phương trình này cũng như cách chứng minh nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong phầnnày. *Phát biểu: Nếu hàm f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡ ( 1) thì f ( x ) = ax , với a ∈ ¡ tùy ý. *Chứng minh:Từ (1) suy ra f ( 0 ) = 0, f ( − x ) = − f ( x )Và với y = x thì f ( 2 x ) = 2 f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 2 )Giả sử với k nguyên dương, f ( kx ) = kf ( x ) , ∀x ∈ ¡Khi đó: f ( ( k + 1) x ) = f ( kx + x ) , ∀x ∈ ¡ , ∀k ∈ ¥Từ đó theo nguyên lí quy nạp, ta có: f ( nx ) = nf ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 3)Ta kết hợp tính chất f ( − x ) = − f ( x ) thu được: f ( mx ) = mf ( x ) , ∀m ∈ ¢ , ∀x ∈ ¡Từ (2) ta có: x x x f ( x ) = 2 f = 22 f 2 = ... = 2 n f n 2 2 2 Từ đó suy ra: x 1 f n = n f ( x ) , ∀n ∈ ¢ , ∀x ∈ ¡ ( 4 ) 2 2Kết hợp (3) và (4) m m = n . f ( 1) , ∀m ∈ ¢ , n ∈ ¥ + f n 2 2Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f(x) ⇒ f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ , a = f ( 1)Thử lại, ta thấy hàm f(x) =ax thỏa (1). Suy ra đpcm.Tiếp đến ta sẽ xét các bài tóan liên quan đến phương pháp này. Naê m hoïc2006 2007 – 63Chuyeân ñeà Löôïng giaùcvaø Ù n g Ö duïngII.Các bài toán chọn lọc: 1Bài 1: Xác định α , β để hàm số f ( x ) = có tính chất f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài các αx + β cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải:Không mất tính tổng quát, ta luôn luôn giả thiết a ≥ b ≥ c 1Nhận xét rằng, phép nghịch đảo g ( x ) = không có tính chất g ( a ) , g ( b ) , g ( c ) Là độ dài xcác cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Thật vậy, xét tam giác cân vớia = b = 2, c = 1 thì ta có 1 1 1 + = a b cĐể f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f ( a ) > 0, f ( b ) > 0, f ( c ) > 0, ∀VABCSuy ra α a + β > 0, α b + β > 0, α c + β > 0, ∀VABC (3)Từ (3) ta thu được α ≥ 0 .Thật vậy,nếu α < 0, β tùy ý cho trước thì ta chọn tam giác ABCcó độ dài cạnh a đủ lớn, theo tính chất về dấu của nhị thức bậc nhất sẽ nhận đượcαa + β < 0Tương tự, cũng từ (3) ta suy ra β ≥ 0 .Thật vậy, nếu β < 0 ta chọn tam giác ABCCó độ dài cạnh a đủ nhỏ thì theo tính chất về dấu của nhị thức bậc nhất sẽ nhận đượcαa + β < 0Trường hợp khi đồng thời xảy ra α = 0, β = 0 f ( x ) không xác định. Với α = 0, β > 0 ta thuđược hàm hằng dương nên f ( a ) = f ( b ) = ...
Tìm kiếm theo từ khóa liên quan:
luyện thi đại học 2010 ôn thi đại học môn toán 2010 giáo dục đào tạo ôn thi đại học ôn thi cao đẳng ôn thi tốt nghiệp Lượng giác phương trình hàm lượng giácTài liệu có liên quan:
-
BÀI THUYẾT TRÌNH CÔNG TY CỔ PHẦN
11 trang 226 0 0 -
CHẨN ĐOÁN XQUANG GAN VÀ ĐƯỜNG MẬT
11 trang 216 0 0 -
Giáo trình Nguyên tắc phương pháp thẩm định giá (phần 1)
9 trang 173 0 0 -
14 trang 127 0 0
-
Tiểu luận triết học - Việt Nam trong xu thế hội nhập và phát triển dưới con mắt triết học
38 trang 99 0 0 -
Gíao trình giao dịch đàm phán kinh doanh. Phần 1
100 trang 93 0 0 -
Đề thi môn tài chính doanh nghiệp
5 trang 85 1 0 -
14 trang 82 0 0
-
Gíao trình giao dịch đàm phán kinh doanh. Phần 2
102 trang 73 0 0 -
800 Câu hỏi trắc nghiệm Vật lý luyện thi Đại học hay và khó
97 trang 70 0 0 -
Đề cương môn học Phân tích định lượng trong kinh doanh
7 trang 58 0 0 -
24 trang 57 0 0
-
Bài tập và lời giải môn Xác suất có điều kiện
2 trang 53 0 0 -
Đồ án tốt nghiệp Hệ thống quản lý kho hàng ở Sunflower
35 trang 53 1 0 -
Tiểu luận : Lịch sử Đảng Cộng Sản Việt Nam
10 trang 50 0 0 -
Tóm tắt lý thuyết hóa vô cơ lớp 12
9 trang 50 0 0 -
Giáo án lý thuyết Pháp luật kinh tế
5 trang 46 0 0 -
Trắc nghiệm sinh học phần kỹ thuật di truyền + đáp án
6 trang 45 0 0 -
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Phú Yên
5 trang 44 0 0 -
Bài thu hoạch: Lịch sử kinh tế
22 trang 42 0 0