Lý thuyết Logic Toán: Phần 2

Tài liệu Logic Toán có kết cầu gồm 3 chương. Phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 3 - hệ toán mệnh đề và vị từ. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập ôn tập và củng cố kiến thức dành cho các bạn tự ôn tập. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết Logic Toán: Phần 2 CHƯƠNG Hỉ HỆ TOẮN MỆNH ĐỀ VÀ HỆ TOÁN VỊ TỪ Một trong những nguyên nhân quan trọng làm chologic toán xuất hiện và phát triề n là sự lan truyề nrộng rãi phương pháp tiên ứồ trong việc xây đựngcác lý thuyết toán học khác nhau, chẳng h ạ n : hỉnhhọc. SỐ học, lý thu vết nhóm, lý thuyết vành v.v... Đê xây dựng bằng tiên đề một lý thuyết toán họcđàu tiên phải fchọn một hệ thống nào đó các kháiniệm không ậuợc định nghĩa và các quan hộ giữachúng* Những khái niệm và quan hệ này gọi,là cơ bản.Tiếp theo phải chọn một hệ thống nào đó các tính chátcủa các khái niệm và các quan hệ cơ bản mà khốn^chứng minh làm tiên đề . Sau đó định nghĩa tất cả cáckhái niệm mặi của lý thuyết qua các khái niệm cơ bảnvà các khái niệm đã được định nghĩa trưặc chúng vàsuy ra « một cách logics tất cả các điề u khẳng định tửcác tiên đề hoặc là từ các điề u khẳng định đã đượcchứng minh. Hệ thống các khái niệm cơ bản và các tiên đề có thềchọn tùy ý. Tuy nhiên lý thuyết chỉ được quan tâm vảlà sinh động khi hệ thống các khải niệm cơ bản và cáctiên dề của nỏ phân ánh những đối tượng nào đó vànhững liên hệ giữa chủng có thực ở trong thế giặihiện thực. Một trong những yêu cầu cơ bản đặt ra chomột hệ thống tiên đề của một lý thuyết toán học là[nh phi mâu thuần, tức là đòi hỏi rằng từ hệ thốngle tiên đ ề đ ã chọn không thề suy ra « một cách logic »ai đ i ề u khẳng định trái ngược nhau. Một câu hỏiược đặt r a : l ả m thể nào đề chứng minh tính phi mâu[mẫn cỉa một lý thuyết tiên (lê? Thoạt đáu người ỉalường sử dụng p h ư ơ n g pháp mô hình (hay là s ự minhoa) cho mục đích này. Khi đỏ n g ư ờ i ta chọn làm cách á i niệm và các quan hệ cơ bản các phần tử cỉa một hợp cụ thề n à o dỏ và các quan hệ giữa chúng vàku đ ỏ nghiệm l ạ i vả xem các khái niệm và các quanỳ đã chọn cố ìUiỏa m ã n qâcfiêri đe cỉa lý thuyết ang xét hay không.. Nor một cách khác ta chọn mộtl ồ hình cụ the v á i các (Ịụan hệ cơ bản làm kỹ số, trênỊÔ h ì n h đó tất ca>e«v-* ti4n.đề cỉa lý thuyết đang XÓIit đ ú n g . Chẳng h?in ì i h i r l i i n l r học giải lích là một sự^inh họa sỗ học, hay một mổ hình, cho hình học ơclil.lũng có t h ề xây ( l ự n o m ộ t m i n h họa sổ học cho h ì n htộc LôKỈichet xki. Tuy nhiên cằn thận hơn trong khi nghiên cửu vánịề này thì ta dễ dàng nhận t h á y rằng, bâng cách xâylựng mô hình ta không chứng minh được tính phiụầu thuẫn cỉa lý thuyết mà chỉ đ ư a tính phỉ mâut u ẫ n cỉa một lý thuyết này v$ tính phi mâu thuẫnlia một lý t h u y ế t khảo. Chẳng hạn như sự t ồ n t ạ iliệt minh họa số học cho hình học ơ c l i t có nghĩa là :lếu số học eác số thực là phi mâu thuẫn thì cả hình ọc ơ c l i t cũng phi mâu thuẫn. Đối v ớ i hỉnh học Lôíachetxki cũng có điều khẳng định t ư ơ n g t ự như vậy. Đa số các minh họa cho các lý thuyết toán học (vàlặc biệt là số học) được xây dựng bằng cách dùng^ thuyết tập hợp, vì thể tính phi mâu thuẫn cỉa toàn4$ t o á n học thật ra là dựa vào tính phi mâu thuẫnl&a lý thuyết tập hợp. 15* Cho đến cuối thế kỷ XỈX các nhà toán học đà xemlý thuyết tập hợp nhu là một cơ sở vững chắc của 1toàn bộ các kiến thức- toán học. Tuy nhiên vào cuốithe kỷ X I X trong chính lý thuyết l ậ p hợp cũng phát #hiện ra các mâu thuần, gọi là các nghịch lý ( ) củalý thuyết tập hợp. Trong các lặp luận dẫn t ớ i nhữngmâu thuẫn này không hề có một sai râm logic nào.Diêu n à y làm lay động lòng tin cậy tuyệt đ ố i vào cácchứng minh toán học. Đề làm thí dấ tia xét mộtnghịch lý dễ nhận thức nhát, (Tó là nghịch lý Ratxen. Ta phân tất cả các tập hợp r a - l à m hai l ớ p : lớpđâu gồm l ấ t cả các láp hcfj coi nỏ là m ò i phần í ử,lớp sau gồm tất cả các tập hừ]) không coi n ó là mộiphan t ư . - Ta xét tập hợp M mà các phân tử của nó là Lất cácác tập hợp thuộc lớp thứ hai. T h ử h ỏ i : tập hợp Mthuộc vào? lớp nào trong hai l ớ p đã kê t r ê n ? Giả sửrằng nỏ thuộc vào lớp t h ứ nhất. K h i đ ỏ tập hợp Mnhận nó là một phần tử. Nhưng các phần t ử củatập hop M là những phần t ử của lớp t h ứ hai. cỏnghĩa là tập hợp M l ạ i thuộc vào lớp thử hai. Ta đãúi t ớ i điêu mâu thuẫn. Bây giờ l ạ i giả sử rằng tập hợpM thuộc vào lớp t h ứ hai. Vì rằng tất cả các lặp hợpthuộc lớp thứ hai là những phần t ử của tập hợp Mnên nó t ự coi nỏ là một phan t ử . Do đ ó n ỏ thuộclớp t h ứ nhất, và ta cũng đi t ớ i m â u thuẫn. Như vậy tập hợp M không thuộc vào lớp thứ nhátm à cũng không thuộc vào lớp t h ứ hai, điều đỏ mâuthuẫn v ớ i điều là, tất cả các tập hợp đã được phânt h à n h hai lớp. (. ) Trong nguyên bản dùng thuật ngữ: aotinôm và paradôctrong tiêng Việt ch! có mô* thuật Jữệữ tiện ,)154 Nghịch lý Rat xen vả các nghịch lý khác của l ýthuyết tập hợp dẫn t ớ i việc phải xem xét l ạ i nhữngphương pháp suy luận dùng trong lý ...