Một phương pháp giải bài toán tối ưu chế độ khi mài tròn ngoài

Bài toán này qui về tìm cực trị có điều kiện của hàm mục tiêu cơ sở y1= f(x1, x2,..., xn) nào đó với các ràng buộc xác định bởi các hàm điều kiện khác yz= f(x1, x2,..., xn), z = 2, 3,..., m.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một phương pháp giải bài toán tối ưu chế độ khi mài tròn ngoàiT¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 –Một phương pháp giải bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoàiNgô Cường - Lê Viết Bảo (Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp – ĐH Thái Nguyên)1. Đặt vấn đềKhi nghiên cứu thực nghiệm một đối tượng nào đó thường phải giải bài toán thươnglượng: tìm tối ưu tổng quát cho hai hay nhiều hàm mục tiêu một cách đồng thời. Vì mỗi chỉ tiêucó tọa độ tối ưu riêng nên khi chọn các thông số để đạt cực trị của một chỉ tiêu nào đó thì có thểlàm các chỉ tiêu khác nhận giá trị cách xa cực trị của chúng. Như vậy cần phải thương lượng mứcgiá trị hợp lý của các chỉ tiêu để cuối cùng có được giá trị tối ưu của chỉ tiêu tổng hợp là chỉ tiêuhiệu quả kinh tế - kỹ thuật. Bài toán này qui về tìm cực trị có điều kiện của hàm mục tiêu cơ sởy1= f(x1, x2,..., xn) nào đó với các ràng buộc xác định bởi các hàm điều kiện khác yz= f(x1, x2,...,xn), z = 2, 3,..., m.2. Giải bài toán tối ưu hoá tổng quát bằng phương pháp qui hoạch toàn phương tuần tự (SQP)Phương pháp SQP giải bài toán qua nhiều bước lặp chính, ở mỗi bước lặp chính sẽ đưa vềgiải một bài toán con qui hoạch toàn phương (viết tắt là bài toán QP). Thuật toán SQP gồm cácbước sau:1. Tính toán ma trận Hessian (H) của hàm LagrangeỞ mỗi bước lặp chính cần tính toán ma trận H của hàm Lagrange bằng phương pháp xấpxỉ Newton:q qTHTHH k +1 = H k + kT k _ T k k(1)qk sk sk H k skTrong đó:s k = x k +1 - x knni =1i =1q k = ∇f ( x k +1 ) + ∑ λ i . ∇g i ( x k +1 ) _ {∇f ( x k ) + ∑ λ i . ∇g i ( x k )}λi (i = 1,2,...m) là thừa số Lagrange. H là ma trận dương hoàn toàn. Ma trận H k làxấp xỉ dương của H. Để cho H dương hoàn toàn thì q kT s k phải dương hoàn toàn. Nếu q kT s k khôngdương hoàn toàn thì phải biến đổi từng phần tử của q k theo công thức:q k = q k + ωυ(2)Trong đó:ω là số vô hướng.υ i = ∇g i ( xk +1 ) . g i ( xk +1 ) _ ∇g i ( xk ) . g i ( xk )Tăng dần ω đến khi q kT s k dương.2. Chuyển bài toán về dạng QPỞ mỗi bước lặp chính cần chuyển bài toán ban đầu về dạng QP bằng phép xấp xỉ của hàmLagrange. Để tìm nghiệm bài toán ban đầu ta chuyển qua xét bài toán đối ngẫu:63T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 –min q (d ) =1 Td Hd + c T d2(d ∈ ℜ n )Ai d = bi(3)i = 1,...,meAi d ≤ bii = me + 1,...,mTrong đó Ai là ma trận con của ma trận A m × n phần tử. Ma trận H xác định ở bước 1.3. Giải bài toán QPGiải bàitoán con QP (tìm d) ở mỗi bước lặp chính như sau: xuất phát từ một xấp xỉ ban đầu^d 0 >0 (chọn d 0 từ một trong những giátrị thỏa mãn các ràng buộc đẳng thức của bài toán con^ QP),^các thành phần của xấp xỉ tiếp theo d k (k = 1,2,...) được tìm bằng cách làm cực tiểu q(d), d k xácđịnh theo công thức:^^d k = Z kT p−TkA(4)ZTrong đó p là một véc tơ, ma trận k tạo thành từ phân giã QR m- l cột cuối của ma trận( l là số ràng buộc và l < m):Z k = Q[:, l +1:m](5)Trong đó:RQ T Ak−T =  0Mỗi bước lặp tính theo công thức:^x k +1 = x k + α d k(6)Trong đó: − ( Ai x k − bi ) Ai d kα = min (i = 1,...,m)Rút p từ (4) thay vào (3) ta được:q(p) =1 T Tp Z k HZ k p + cT Z k p2(7)Đạo hàm theo p được:∇q ( p ) = Z kT HZ k p + Z kT cVới giả thiết ma trận H dương hoàn toàn thì điều kiện tối ưu là:∇q ( p ) = 0 ⇒ Z kT HZ k p = − Z kT cTừ (9) tính ra đượcpkvàdk(8)(9)(là nghiệm của bài toán QP).4. Xác định xấp xỉ ban đầu và bước lặp chính của bài toán SQPXấp xỉ ban đầu x1> 0 của bài toán SQP có thể chọn từ một trong những giá trị thỏa mãn64T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 –các ràng buộc đẳng thức của bài toán ban đầu. Nghiệm dk của mỗi bài toán con QP được dùng đểxác định bước lặp mới:x k +1 = x k + αd k(k = 1,2,...)(10)Quá trình giải bài toán SQP sẽ dừng khif ( xk ), hoặcq(d k ), hoặcx( d k )thay đổi không đáng kể.3. Bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoàiMài tinh thường được chọn làm nguyên công gia công lần cuối cho nên chất lượng bềmặt gia công là một trong những yêu cầu kỹ thuật quan trọng nhất cần phải đạt được. Khi mài đásẽ mòn dần theo thời gian mài làm cho lực cắt, nhiệt cắt và độ nhám bề mặt gia công Ra tăngdần, khi giới hạn về cháy bề mặt và độ nhám bề mặt gia công bị vi phạm thì phải sửa đá. Vì điềukiện cắt gọt khi mài tinh tương đối nhẹ nhàng nên thường lực cắt, nhiệt cắt nhỏ, ràng buộc về độnhám bề mặt gia công thường bị vi phạm trước khi vi phạm ràng buộc về cháy bề mặt. Nếu gọiRad là độ nhám bề mặt gia công ban đầu ( đạt được ở đầu chu kỳ mài sau khi sửa đá ) và [Ra] làgiới hạn độ nhám bề mặt gia công cho phép thì thời gian mài để Ra tăng từ Rad đến [Ra] là tuổi bềncủa đá mài. Như vậy các thông số Rad và [Ra] là các dữ liệu ban đầu của bài toán tối ưu hoá khimài tinh theo chỉ tiêu tuổi bền đá mài.Gọi nT là số chi tiết gia công được trong một chu kỳ tuổi bền đá T, nT được xác địnhtheo công thức sau [6]: R − Ra ...