MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ PHẦN 2

Định nghĩa: Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên vàcó trọng số G=(V,E) với V={v0, v1, ..., vn} thoả mãn: 1) Mỗi cung e  E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi là khả năng thông qua của cung e.2) Có một và chỉ một đỉnh v0 không có cung đi vào, tức là degt(v0)=0. Đỉnh v0 được gọi là lối vào hay đỉnh phát của mạng.3) Có một và chỉ một đỉnh vn không có cung đi ra, tức là dego(vn)=0. Đỉnh vn được gọi là...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ PHẦN 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ - PHẦN 2BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI.5.2.1. Luồng vận tải:5.2.1.1. Định nghĩa: Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên vàcó trọng số G=(V,E) với V={v0, v1, ..., vn} thoả mãn:1) Mỗi cung e  E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi làkhả năng thông qua của cung e.2) Có một và chỉ một đỉnh v0 không có cung đi vào, tức là degt(v0)=0. Đỉnh v0được gọi là lối vào hay đỉnh phát của mạng.3) Có một và chỉ một đỉnh vn không có cung đi ra, tức là dego(vn)=0. Đỉnh vn đượcgọi là lối ra hay đỉnh thu của mạng.5.2.1.2. Định nghĩa: Để định lượng khai thác, tức là xác định lượng vật chấtchuyển qua mạng vận tải G=(V,E), người ta đưa ra khái niệm luồng vận tải và nóđược định nghĩa như sau. Hàm  xác định trên tập cung E và nhận giá trị nguyên được gọi là luồngvận tải của mạng vận tải G nếu  thoả mãn:1) (e)  0, e  E.   (e) =   (e) , v V, vv0, vvn. Ở đây,   (v)={eE | e có đỉnh cuối2) e  (v ) e  ( v )là v},   (v)={eE | e có đỉnh đầu là v}.3) (e)  m(e), e  E. Ta xem (e) như là lượng hàng chuyển trên cung e=(u,v) từ đỉnh u đến đỉnhv và không vượt quá khả năng thông qua của cung này. Ngoài ra, từ điều kiện 2) tathấy rằng nếu v không phải là lối vào v0 hay lối ra vn, thì lượng hàng chuyển tới vbằng lượng hàng chuyển khỏi v. Từ quan hệ 2) suy ra:   (e) =   (e) =:  v4) . n   e ( v0 ) e (vn ) Đại lượng  vn (ta còn ký hiệu là  n ) được gọi là luồng qua mạng, haycường độ luồng tại điểm vn hay giá trị của luồng . Bài toán đặt ra ở đây là tìm để  vn đạt giá trị lớn nhất, tức là tìm giá trị lớn nhất của luồng.5.2.1.3. Định nghĩa: Cho mạng vận tải G=(V,E) và A  V. Ký hiệu   (A)={(u,v)E | vA, uA},   (A)={(u,v)E | uA, vA}.   (e) được gọi là luồng của Đối với tập cung M tuỳ ý, đại lượng (M)= eMtập cung M. Từ điều kiện 2) dễ dàng suy ra hệ quả sau.5.2.1.4. Hệ quả: Cho  là luồng của mạng vận tải G=(V,E) và A  V {v0,vn}.Khi đó: (   (A))=(   (A)).5.2.2. Bài toán luồng cực đại: Cho mạng vận tải G=(V,E). Hãy tìm luồng  để đạt  vn max trên mạng G. Nguyên lý của các thuật toán giải bài toán tìm luồng cực đại là như sau.5.2.2.1. Định nghĩa: Cho A  V là tập con tuỳ ý không chứa lối vào v0 và chứalối ra vn. Tập   (A) được gọi là một thiết diện của mạng vận tải G. Đại lượng m(   (A))=  m(e) được gọi là khả năng thông qua của thiết e  ( A)diện   (A). Từ định nghĩa thiết diện và khả năng thông qua của nó ta nhận thấy rằng:mỗi đơn vị hàng hoá được chuyển từ v0 đến vn ít nhất cũng phải một lần qua mộtcung nào đó của thiết diện   (A). Vì vậy, dù luồng  và thiết diện   (A) như thếnào đi nữa cũng vẫn thoả mãn quan hệ: n  m(   (A)). Do đó, nếu đối với luồng  và thiết diện W mà có: n = m(W)thì chắc chắn rằng luồng  đạt giá trị lớn nhất và thiết diện W có khả năng thôngqua nhỏ nhất.5.2.2.2. Định nghĩa: Cung e trong mạng vận tải G với luồng vận tải  được goilà cung bão hoà nếu (e)=m(e). Luồng  của mạng vận tải G được gọi là luồng đầy nếu mỗi đường đi từ v0đến vn đều chứa ít nhất một cung bão hoà. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu luồng  trong mạng vận tải G chưa đầythì nhất định tìm được đường đi  từ lối vào v0 đến lối ra vn không chứa cung bãohoà. Khi đó ta nâng luồng  thành ’ như sau:  (e)  1 khi e ,  (e)    (e) khi e . Khi đó ’ cũng là một luồng, mà giá trị của nó là: ’n = n +1 > n. Như vậy, đối với mỗi luồng không đầy ta có thể nâng giá trị của nó v à nângcho tới khi nhận được một luồng đầy. Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng có thể có một luồng đầy, nhưng vẫn chưađạt tới giá trị cực đại. Bởi vậy, cần phải dùng thuật toán Ford-Fulkerson để tìm giátrị cực đại của luồng.5.2.2.3. Thuật toán Ford-Fulkerson: Để tìm luồng cực đại của mạng vận tải G, ta xuất phát từ luồng tuỳ ý  củaG, rồi nâng luồng lên đầy, sau đó áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson hoặc ta có thểáp dụng thuật toán Ford-Fulkerson trực tiếp đối với luồng . Thuật toán gồm 3 bước:Bước 1 (đánh dấu ở đỉnh của mạng): Lối vào v0 được đánh dấu bằng 0.1) Nếu đỉnh vi đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số +i để đ ...