Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê

Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiênGiả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạcĐịnh lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử giá trị của X có tính chất phân phối là các với j = 1, 2,...Khi...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiênGiả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borelbất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quanhệ giữa phân phối xác suất của X và của Y.1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạcĐịnh lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử là cácgiá trị của X có tính chất với j = 1, 2,...Khi đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ cóphân phối , i= 1, 2, ...Ví dụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suấtX -1 0 1 2P 0,3 0,1 0,2 0,4Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiêna- U = 2X + 1b- V=Giải. a- U = 2X + 1 sẽ nhận các giá trị -1, 1, 3, 5. Ta cóP(U = -1) = P(X = -1) = 0,3; P(U = 1) = P(X = 0) = 0,1;P(U = 3) = P(X = 1) = 0,2; P(U = 5) = P(X = 2) = 0,4;Vậy phân phối xác suất của U làU -1 1 3 5P 0,3 0,1 0,2 0,4 sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2. Ta cób- V=P(V = 0) = P(X = 0) = 0,1P(V = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,5P(V = 2) = P(X = 2) = 0,4Vậy phân phối xác suất của V làV 0 1 2P 0,1 0,5 0,42. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tụca. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử Y = yi khi X (ai, bi). Khi đóVí dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độXác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = sg(X + 2), trong đóGiải. Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vìTừ đóP(Y = 1) = P(Y = -1) =Vậy phân phối xác suất của y làY -1 1P 0,25 0,75b. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên liên tục Trong trường hợp g là hàm đơn điệu, khả vi ta nhận đượcĐịnh lý 2.1. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ fX và g là một hàmđơn điệu, khả vi trên R sao cho Giả sử . Khi đó, Y là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ ,trong đó g-1(y) là hàm ngược của hàm g(y).Chứng minh. Giả sử g là một hàm tăng. Khi đó hàm phân phối của Y làVậy hàm mật độ của Y làTương tự, nếu g là một hàm giảm thìĐịnh lý được chứng minh.Ví dụ 2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối FX và hàm mật độ fX.Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = aX + b,Giải. Ta có . Vậy theo Định lý 2.1 ta nhận đượcVí dụ 2.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độXác định hàm mật độ và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = -lnX.Giải. Do . Để Vậy nên thìHàm phân phối của Y làChú ý: Ta có thể tìm trực tiếp hàm phân phối FY trước rồi từ đó tìm fY.Trong trường hợp g không là hàm đơn điệu, ta có thể chọn một trong các cách làmnhư trong ví dụ dưới đây:Ví dụ 2.4. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX và hàm phân phối FX.Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X2.Giải. Cách 1 (Xác định hàm mật độ từ hàm phân phối) Hàm phân phối của Y làTừ đó, Cách 2 (Tách miền xác định để nhận được hàm đơn điệu và từ đó áp dụng  Định lý 2.1)Ta cóĐặt , ở đó vàáp dụng Định lý 2.1 cho các hàm ta nhận được vàVậy.