PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ

Tham khảo tài liệu phép chia hết và chia có dư, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯI- lý thuyÕt cÇn nhí.1. §Þnh nghÜa.Víi mäi a, bN (b0) ta lu«n t×m ®-îc sè tù nhiªn r sao choa = bq + r (0  r < b)a lµ sè bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th-¬ng, r lµ sè d-- NÕu r = 0 ta ®-îc phÐp chia hÕt, tanãi r»ng a chia hÕt cho b (a:  b), hay a lµbéi cña b, hay b chia hÕt a, hay b lµ -íc cña a (b/a).- NÕu r > 0,ta ®-îc phÐp chia cã d-, ta nãi r»ng a kh«ng chia hÕt cho b(a  :b).2. C¸c tÝnh chÊt vÒ phÐp chia hÕt. (10 tÝnh chÊt) 1) Sè 0 chia hÕt cho mäi sè b0. 2) Sè a chia hÕt cho mäi a0. 3) NÕu a:  b, b:  c th× a  c.4) NÕu a vµ b cïng chia hÕt cho m th× a+b vµ a-b ®Òu chia hÕt cho m.5) - NÕu mét trong hai sè a vµ b chia hÕt cho m, sè kia kh«ng chia hÕtcho m th× a+b vµ a-b ®Òu kh«ng chia hÕt cho m. - NÕu tæng hoÆc hiÖu hai sè chia hÕt cho m vµ mét trong hai sèÊy chia hÕt cho m th× sè cßn l¹i còng chia hÕt cho m.6) NÕu mét thõa sè cña tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m. Su y ra a : m th× a n :  m (nN * ). 7) NÕu a:  m, b:  n th× ab :  mn Suy ra nÕu a :  b th× a n :  b n .8) NÕu mét sè chia hÕt cho hai sè nguyªn tè cïng nhau th× nã chia hÕt chotÝch cña hai sè ®ã.9) NÕu tÝch ab chia hÕt cho m, trong ®ã b vµ m lµ hai sè nguyªn tè cïngnhau th× a chia hÕt cho m.10) NÕu mét tÝch chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tån t¹i mé t thõa sè cña tÝchchia hÕt cho p. Suy ra nÕu a n  p, p lµ ngyªn tè th× a  p.3. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt. (9 dÊu hiÖu)Cho sè tù nhiªn M = a n a n-1 ...a 2 a 1 a0 . 1) M  2  a 0 0; 2; 4; 6; 8 2) M  5  a 0 0; 5 3) M  3  (a n-1 + a n-1 +...+ a 1 + a 0 )  3 4) M  9  (a n-1 + a n-1 +...+ a 1 + a 0 )  9 5) M  4  a1 a0  4 6) M  25  a 1 a 0  25 7) M  8  a2 a1 a0  8 8) M  125  a 2 a 1 a 0  125 9) M  11  (a 0 + a 2 +...) - (a 1 + a 3 +...)  11  (a 1 + a 3 +...) - (a 0 + a 2 +...)  114. C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt.Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1 Cã c¸c ph-¬ng ph¸p chÝnh sau: PP 1.§Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p,cã thÓ xÐtmäi tr-êng hîp vÒ sè d- khi chia n cho pVÝ dô1:Chøng minh r»ng A(n)= n(n 2 -+1)(n 2 +4)  5 víi mäi sè nguyªn n. Gi¶i: XÐt mäi tr-êng hîp:Víi n  5 ,râ rµng A(n)  5Víi n=5k  1  n 2 = 25k 2  10  5  A(n)  5Víi n= 5h  2  n 2 = 25k 2  20k+4  5  n 2 +1  5  A(n)  5A(n) lµ tÝch cña ba thõa sè trong mäi tr-êng hîp ®Òu cã mét thõa sè chia hÕtcho 5 vËy A(n)  5 PP 2. .§Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét hîp sè m,ta ph©n tÝch m rathõa sè.Gi¶ sö m=p.q.NÕu p vµ q lµ sè nguyªn tè,hay p vµ q nguyªn tè cïngnhau th× ta t×m c¸ch chøng minh A(n)  p vµ A(n)  q(tõ ®ã suy raA(n)  p.q=m). VÝ dô2: Chøng minh tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6 Gi¶i: Ta cã A(n) = n(n+1)(n+2) vµ 6=2.3(2 vµ 3 lµ sè nguyªn tè),ta t×mc¸ch chøng minh A(n)  2 vµ A(n)  3 Trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 2vËy A(n)  2 Trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 3 vËy A(n)  3 A(n)  2 vµ A(n)  3 vËy A(n)  2.3=6 NÕu q vµ p kh«ng nguyªn tè cïng nhau th× ta ph©n tÝch A(n) ra thõasè,ch¼ng h¹n A(n)=B(n).C(n) vµ t×m c¸ch chøng minh B(n)  p vµ C(n)  q (suy ra A(n) =B(n).C(n)  p.q = m )VÝ dô 3 Chøng minh r»ng tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 8 Gi¶i: Gäi sè ch½n ®Çu tiªn lµ 2n,sè ch½n tiÕp theo lµ 2n+2,tÝ ch cña chóngsÏ lµ A(n) = 2n(2n+2) ta cã 8=4.2 vµ A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) ®©y lµ tÝchcña hai thõa sè mét thõa sè lµ 4  4 vµ thõa sè kia lµ n(n+1) lµ tÝch hai sè tùnhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2 V× vËy A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1)  2.4 =8PP 3.§Ó C/M A(n)  m, cã thÓ biÕn ®æi A(n) thµnh tæng cña nhiÒu sè h¹ng vµC/M mçi sè h¹ng chia hÕt cho m.VÝ dô 4: Chøng minh r»ng n 3 -13n  6 víi mäi n thuéc ZGi¶i: Ta ph¶i chøng minh A(n) = n 3-13n  6Chó ý r»ng 13n=12n+n mµ 12n  6 ,ta biÕn ®æi A(n) thµnh A(n) = (n 3 -n)-12n = n(n 2 -1)-12n=(n-1)n(n+1)-12nMµ (n-1)n(n+1) lµ tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp nªn (n-1)n(n+1)  6 (VÝ dô 2)Vµ 12n  6V× vËy (n-1)n(n+1)-12n  6 hay A(n) = n 3 -13n  6Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2PP 4.§Ó C/M mét tæng kh«ng chia hÕt cho m,cã thÓ chøng minh mét sèh¹ng cña tæng kh«ng chia hÕt cho m cßn tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cßn l¹i chia hÕtcho m vÝ dô 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè n lÎ : n 2 +4n+5 kh«ng chia hÕt cho 8Gi¶i: §Æt n=2k+1 (nlÎ) ta cã : n 2 +4n+5=(2k+1) 2 +4(2k+1) +5 = (4k 2 +4k+1+)+ (8k+4)+5 = (4k 2 +4k) +(8k+8)+2 §©y lµ tæng cña ba sè h¹ng sè h¹ng ®Çu b»ng (4k 2 +4k)=4k(k+1)  8(vÝ dô 3),Sè h¹ng thø hai chia hÕt cho 8 sè h¹ng thø ba kh«ng chia hÕt c ho 8 ...