Phương pháp chuẩn hoá bất đẳng thức

Hàm số f(a,b,c) là thuần nhất trên một miền I nào đó nếu nó thoả mãn f (ta,tb,tc) = tk f (a,b,c) . Trongđó t, a,b,c, k ÎI , hằng số k không phụ thuộc vào a,b,c mà phụ thuộc vào hàm f.Đối với đa thức thì một đa thức thuần nhất là tổng các đơn thức đồng bậc.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chuẩn hoá bất đẳng thứcwww.vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online n .v h 4 2 c o ih u V www.mathvn.comVõ Qu c Bá C n n .v h 4 2 c o ih u VCopyright c 2009 by Vo Quoc Ba Can.All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written the permission of theauthor. www.mathvn.com L i c m ơnQuy n tuy n t p này ch c ch n s không th th c hi n đư c n u không có s đóng góp c a nh ngngư i b n c a tôi. H đã tr c ti p đ ng viên tôi th c hi n, g i cho tôi nh ng bài toán hay giúp tôicó th tuy n t p l i m t cách t t nh t có th các bài toán b t đ ng th c. Xin đư c nêu ra đây nh ngngư i b n thân thi t đã giúp đ tôi r t nhi u trong quá trình th c hi n quy n tuy n t p này 1. Nguy n Văn Dũng - Gi ng viên H c Vi n K Thu t Quân S Hà N i. 2. Tr n Quang Hùng - Cao h c toán trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, ĐHQG Hà N i. 3. Cao Minh Quang - Giáo viên trư ng THPT Chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long. n 4. Võ Thành Văn - L p 12 Toán, trư ng THPT Chuyên, ĐHKH Hu . .v 5. Nguy n M nh Dũng - L p 12 Toán, kh i Ph Thông Chuyên Toán – Tin, trư ng ĐHKHTN, ĐHQH Hà N i. 6. Tr n Anh Tu n - đang c p nh t thông tin. h 4 2 c o ih u V www.mathvn.com Nh ng bài b t đ ng th c t các cu c thi gi i toánBài O1. Gi s a, b, c là các s th c không âm th a mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Ch ng minh r ng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2. (USAMO 2000)L i gi i 1 (V. Q. B. C n). B t đ ng th c bên trái là hi n nhiên, b i vì t gi thi t, ta suy ra có ít nh tm t s trong ba s a, b, c không l n hơn 1. Gi s s đó là c, khi đó ta s có ab + bc + ca − abc = ab(1 − c) + c(a + b) ≥ 0.Bây gi , ta s ch ng minh b t đ ng th c bên ph i. Thay abc = 4 − (a2 + b2 + c2 ) vào, ta có th vi t nl i b t đ ng th c này thành a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≤ 6. Ta s dùng phương pháp ph n ch ng đ .vch ng minh b t đ ng th c này. Gi s t n t i m t b s (a, b, c) g m các s h ng không âm sao choa2 + b2 + c2 + abc = 4 và a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca > 6. Khi đó, ta s có √ 6(a2 + b2 + c2 ) 6 6abc h 2 2 2 4 = a + b + c + abc = + √ 6 6 6 2 + b2 + c2 ) 4 √ 6(a 6 6abc > 2 + , a + b2 + c2 + ab + bc + ca (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)3/2 2suy ra √ 3 6abc c 2 2 2 2(ab + bc + ca) − (a + b + c ) > √ . a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca oM t khác, áp d ng b t đ ...