Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính: Phần 2

Tiếp nội dung phần 1, Cuốn sách Lý thuyết điều khiển tuyến tính phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: điều khiển liên tục trong miền thời gian; điều khiển hệ không liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính: Phần 2 3 §iÒu khiÓn liªn tôc trong miÒn thêi gian 3.1 C«ng cô to¸n häc 3.1.1 Nh÷ng cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n Nhãm Nhãm bao gåm mét tËp hîp V vμ ¸nh x¹ * : V 2 → V , tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: − NÕu x, y ∈V th× z = x * y còng thuéc V, tøc lμ V kÝn (hay ®ãng) víi *. − Víi mäi x, y , z ∈V bao giê còng cã ( x * y ) * z = x * ( y * z ) , nãi c¸ch kh¸c * cã tÝnh kÕt hîp. − Tån t¹i trong V mét phÇn tö e sao cho x * e = e * x = x ®óng víi mäi x ∈ V . PhÇn tö e ®−îc gäi lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña V. −1 − Víi mäi x ∈ V bao giê còng tån t¹i mét phÇn tö x còng thuéc V sao cho −1 −1 −1 x *x=x*x = e . PhÇn tö x ®−îc gäi lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x. PhÇn tö ®¬n vÞ e lμ duy nhÊt. ThËt vËy, nÕu cã x* e 1 = e 1 * x = x vμ x* e 2 = e 2 * x = x ®óng víi mäi x∈ V th× còng ph¶i cã e 1 = e 2 v×: e1 = e1 * e 2 = e2 −1 −1 Còng t−¬ng tù nh− vËy, nÕu cã hai phÇn tö nghÞch ®¶o x , x cña x th× do cã: −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 x =x *e = x *(x* x ) = (x *x)* x = e* x =x −1 −1 −1 tøc lμ x =x nªn phÇn tö nghÞch ®¶o x còng ph¶i lμ duy nhÊt. 2 NÕu tËp hîp V vμ ¸nh x¹ * : V → V chØ tháa m·n cã hai tÝnh chÊt 1) vμ 2) th× V ®−îc gäi lμ nöa nhãm. Nöa nhãm cã chøa phÇn tö ®¬n vÞ e ®−îc gäi lμ Monoid. §Ó nhÊn m¹nh ¸nh x¹ * t¹o víi tËp V thμnh ®−îc mét nhãm, ta sÏ sö dông ký hiÖu ( V , * ) . Tïy thuéc vμo b¶n chÊt cña * mμ nhãm ( V , * ) cßn cã c¸c tªn kh¸c nhau. VÝ dô nh− nhãm céng, nÕu ¸nh x¹ * lμ phÐp céng +, hoÆc nhãm nh©n nÕu * lμ phÐp nh©n •. Riªng ®èi víi nhãm nh©n, thay v× x • y ta sÏ viÕt ®¬n gi¶n h¬n lμ x y . PhÇn tö ®¬n vÞ e 229 trong nhãm céng cã tªn gäi lμ phÇn tö kh«ng, cßn trong nhãm nh©n th× nã lμ phÇn tö mét. NÕu ¸nh x¹ * trong ( V , * ) cßn cã tÝnh giao ho¸n x* y = y * x víi mäi x, y ∈ V th× ( V , * ) ®−îc gäi lμ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel. Mét tËp con W cña V sÏ lμ mét nhãm con trong ( V , * ) nÕu: − W chøa phÇn tö ®¬n vÞ e cña ( V , * ) . − NÕu cã x, y ∈W th× còng cã x* y −1 ∈W. VÝ dô 3.1: Mét sè nhãm th−êng gÆp − TËp tÊt c¶ c¸c sè nguyªn Z víi phÐp céng lμ mét nhãm Abel. − TËp tÊt c¶ c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng trªn nã t¹o thμnh nhãm Abel. − TËp c¸c sè h÷u tû kh¸c 0 cïng phÐp nh©n t¹o thμnh nhãm Abel. − TËp c¸c ®a thøc cïng bËc cña biÕn x víi phÐp céng ®a thøc lμ mét nhãm Abel. − TËp c¸c sè thùc kh¸c 0 víi phÐp nh©n lμ mét nhãm Abel. Vμnh 2 Vμnh lμ tËp hîp V víi hai ¸nh x¹ +, •: V → V , tháa m·n: − Víi + th× V lμ mét nhãm ( V , + ) . − Gäi phÇn tö ®¬n vÞ cña ( V , + ) lμ 0 th× cïng víi • tËp V \ { 0} t¹o thμnh nöa nhãm. VÝ dô 3.2: Mét sè vµnh th−êng gÆp − TËp c¸c sè nguyªn Z hay h÷u tû Q víi phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh vμnh. − TËp c¸c sè thùc R víi phÐp céng vμ nh©n lμ mét vμnh. − TËp c¸c vector cïng phÐp tÝnh céng vector vμ phÐp nh©n cã h−íng t¹o thμnh mét vμnh. − TËp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cïng sè hμng/cét víi phÐp céng vμ nh©n ma trËn t¹o thμnh mét vμnh. Tr−êng Tr−êng (field) lμ mét tËp hîp F víi hai ¸nh x¹ +, • : F 2 → F , tháa m·n: − Víi + th× F lμ mét nhãm Abel ( F , + ) . − Gäi phÇn tö ®¬n vÞ cña ( F , + ) lμ 0 th× cïng víi • tËp F \ { 0} còng t¹o thμnh nhãm Abel (F \ { 0} , • ). PhÇn tö ®¬n vÞ cña (F \ { 0} , • ) th−êng ®−îc viÕt lμ 1. − Víi mäi a, b, c ∈ F cã a • ( b + c ) = a • c + a • c . Ta sÏ ký hiÖu tr−êng gåm tËp hîp F vμ hai ¸nh x¹ +, • lμ ( F , + , • ) . Hai phÇn tö 0 vμ 1 ®−îc gäi lμ c¸c phÇn tö kh«ng, phÇn tö mét cña tr−êng ( F , + , • ) . Tuy nhiªn, khi hai phÐp tÝnh + , • ®· x¸c ®Þnh mμ kh«ng sî bÞ nhÇm lÉn th× cã thÓ ký hiÖu ng¾n gän lμ F. 230 VÝ dô 3.3: Mét sè tr−êng th−êng gÆp − TËp c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. − TËp c¸c sè thùc R cïng phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. − TËp c¸c sè phøc C cïng phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. Kh«ng gian vector Cho mét nhãm Abel ( V , + ) vμ mét tr−êng ( F , + , • ) . NÕu cã ¸nh x¹ ° ®−îc ®Þnh nghÜa cho F × V → V , tøc lμ gi÷a mét phÇn tö x cña V víi mét phÇn tö a cña F, tháa m·n: − a ° x ∈ V víi mäi x ∈ V vμ a ∈ F . − a ° ( b ° x ) = ( a • b ) ° x víi mäi x ∈ V vμ a , b ∈ F . − 1 ° x = x víi mäi x ∈ V . − ( a + b ) ° x = a ° x + b ° x víi mäi x ∈ V vμ a , b ∈ F . − a ° ( x + y ) = a ° x + b ° y víi mäi x, y ∈ V vμ a ∈ F . th× ( V , + ) ®−îc gäi lμ kh«ng gian vector trªn tr−êng ( F , + , • ) . Ta sÏ sö dông ký hiÖu ( V , + , F ) ®Ó chØ kh«ng gian vector V trªn tr−êng F. Kh«ng gian vector ( V , + , F ) cã tÝnh kÝn víi c¸c phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, tøc lμ nÕu x, y ∈ V vμ a, b ∈ F th× a x + b y ∈ V . Bëi vËy nã cßn cã tªn gäi lμ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. PhÇn tö cña V ®−îc gäi lμ vector. PhÇn tö kh«ng cña V ®−îc ký hiÖu b»ng 0. ë nhiÒu tr−êng hîp, vμ còng ®Ó ®¬n gi¶n trong c¸ch viÕt, khi mμ tr−êng F cïng c¸c phÐp tÝnh +, •, ° ®· x¸c ®Þnh vμ kh«ng sî bÞ nhÇm lÉn th× thay cho ký hiÖu ( V , + , F ) ®Ó chØ kh«ng gian vector V trªn tr−êng F ta sÏ viÕt ng¾n ...