Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 6: Bất đẳng thức

Mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu chuyên đề 6: Bất đẳng thức. Nhằm giúp cho các bạn em có thêm tài liệu tham khảo và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 6: Bất đẳng thứcHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Chuyeân ñeà 6: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI I. Moät soá ghi nhôù: 2 2  a  0 , (a  b)  4ab ;  a, b 2 2  a  ab + b > 0 ;  a, b  a   a ; a  a + b a + b ;  a, b  a  b a  b ;  a, b  1  sin x  1; 1  cosx  1 II. Baát ñaúng thöùc Cauchy Cho hai soá a, b khoâng aâm 1. Ta coù: a + b  2 a.b daáu “=” xaûy ra khi a = b 2. Neáu a + b = const thì tích a.b lôùn nhaát khi a = b 3. Neáu a.b = const thì toång a + b nhoû nhaát khi a = b B. ÑEÀ THIBaøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011 Cho x, y, z laø ba soá thöïc thuoäc ñoaïn [1; 4] vaø x  y, x  z . x y z Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P    . 2x  3y y  z z  x Giaûi 1 1 2 AÙp duïng baát ñaúng thöùc   vôùi a, b döông vaø ab  1. 1  a 1  b 1  ab x y z 1 1 1 Ta coù: P       2x  3y y  z z  x 2  3 y 1  z 1  x x y z 1 2 1 2     y zx y x 23 1 23 1 x yz x y z x x Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi  hoaëc  1 . y z y x Ñaët t = . Vôùi x, y thuoäc ñoaïn [1; 4] vaø x  y thì t  [1; 2] . y 1 2 t2 2 Khi ñoù: P    2  1 1  t 2t  3 1  t 23 t2184 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN t2 2 Xeùt haøm soá f(t) = 2 treân [1; 2] .  2t  3 1 t 2[4t 3 (t  1)  3(2t 2  t  3)] Ta coù: f’(t) = < 0 , x[1; 2] . (2t 2  3)2 (t  1)2 34 Suy ra haøm soá f nghòch bieán treân [1; 2] . Do ñoù: f(t)  f(2) = 33 z x x  x  z hoaë c y  1   Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi :  (*) . t  x  2   y Deã thaáy x = 4, y = 1, z = 2 thoûa (*). 34 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa P baèng khi x = 4, y = 1, z = 2 . 33Caùch 2: Laáy ñaïo haøm theo bieán z ta ñöôïc: y x  x  y   z2  xy  P’(z) = 0   = 2 2 2 2 y  z z  x  y  z z  x x x z 6  Neáu x = y thì P    = . 2x  3x x  z z  x 5  Neáu x > y thì P’(z) = 0  z2  xy  0  z  xy . z xy P(z)  0 + P P  xy  x y xy x 2 y Vaäy P  P  xy =   ...