Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn

Luận văn gồm hai chương. Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, một số định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnh hình, đại số đều. Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Sau đây là tóm tắt của luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong CnTóm tắt luận văn Các tập lồi đa thức có vai trò quan trọng trong lý thuyết cáchàm số của hàm nhiều biến phức, đặc biệt liên quan đến bài toán xấp xỉ.Trong giải tích cổ điển, chúng ta đã biết đến định lý Stone-Weirstrass vềxấp xỉ các hàm liên tục bởi các đa thức trên các tập con compact trongRn . Trong giải tích hàm nhiều biến phức, theo định lý Oka-Weil nếu Klà một tập lồi đa thức trong Cn thì một hàm chỉnh hình trong một lâncận của K có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. Một tập con compact X của Cn gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểmz ∈ Cn \ X tồn tại đa thức P sao cho |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}.Không phải mọi tập con compact của Cn đều là lồi đa thức, vì vậy mộtvấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì một tập hợp trong Cn là lồi đathức. Trong luận văn này, tác giả đề cập đến điều kiện để mọi tập concompact của hợp hai n-phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, mộtsố định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnhhình, đại số đều. Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ đơn giảnvề các tập lồi đa thức trong Cn , đồng thời phát biểu và chứng minh bổđề Kallin về điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiếtrời nhau là tập lồi đa thức. Tác giả cũng đưa ra áp dụng bổ đề Kallin 1để xét tính lồi đa thức của hợp các hình cầu trong Cn . Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh địnhlý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trongCn là tập lồi đa thức. Trong trường hợp điều kiện của định lý này khôngđược thỏa mãn, tác giả đưa ra định lý về bao lồi đa thức của các tậpcon compact của hợp của hai n−phẳng thực trong Cn và hai định lý vềxấp xỉ đều các đa thức. Cuối chương này là ví dụ về một cặp đa tạp conthuần túy thực trong C2 giao nhau chỉ tại gốc có hợp là tập lồi đa thứcnhưng hợp của các không gian tiếp xúc tại 0 có các tập con compactkhông lồi đa thức. 2Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong Cn , ta có thể đồng nhất Cn với R2n . Xéthàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, ..., n. n n X ∂f X ∂f df = dxj + dyj j=1 ∂x j j=1 ∂y j n n X ∂f X ∂f = dzi + dzj , j=1 ∂z j j=1 ∂zjtrong đó ∂f 1 ∂f ∂f = −i , ∂zj 2 ∂xj ∂yj ∂f 1 ∂f ∂f = +i . ∂zj 2 ∂xj ∂yjĐịnh nghĩa 1.1. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác địnhtrong Ω với x, y ∈ Rn . Hàm f được gọi là R2n -khả vi tại z0 = x0 + iy0nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x0 , y0 ).Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là Cn -khả vi tại z0 ∈ Ω nếu f là 3R2n -khả vi tại z0 và f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f (z0 ) = 0, j = 1, ..., n, ∂zj Pn ∂ftức là df = dzj . j=1 ∂zjĐịnh nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu nó làCn -khả vi trong một lân cận nào đó của z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọiz0 ∈ Ω. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên tập compact K ⊂ Ω nếu tồn tạitập mở ω sao cho K ⊂ ω ⊂ Ω và f chỉnh hình trên ω. Hàm f chỉnh hình trên toàn bộ Cn được gọi là hàm nguyên. Đối với hàm chỉnh hình ta có tính chất sau:Định lý 1.1. Nguyên lý môđun cực đại.Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D. Khiđó hoặc f là hàm hằng hoặc f chỉ đạt cực đại trên biên bD của D.1.2 Hàm đa điều hòaĐịnh nghĩa 1.4. Hàm thực n biến u(x1 , x2 , ..., xn ) khả vi liên tục cấphai trên tập mở D ⊂ Rn được gọi là hàm đa điều hòa nếu ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 4u(x) = 2 (x) + 2 (x) + ... + 2 (x) = 0, ∂x1 ∂x2 ∂xnvới mọi x ∈ D.Định lý 1.2. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trênmiền Ω ⊂ Cn , với z = x + iy và x, y ∈ Rn . Khi đó u(x, y) và v(x, y) làcác hàm đa hàm điều hòa trên Ω. 4Định lý 1.3. Nguyên lý cực đại.Giả sử u : D → R là hàm đa điều hòa, trong đó D ⊂ Cn . Nếu K làtập con compact của D thì f |K đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên biênbK của K. Trong trường hợp D là tập liên thông, nếu f đạt cực đại địaphương tại điểm z0 ∈ D thì nó là hằng số trong lân cận nào đó của z0 .1.3 Một số định lý xấp xỉĐịnh lý 1.4. Định lý Stone-Weirstrass.Mỗi hàm số liên tục f (x) trên một tập compact X ⊂ Rn là giới hạn đềucủa một dãy các đa thức với hệ số hữu tỉ.Định lý 1.5. Định lý Runge.Cho K là tập con compact trong C và C \ K là tập liên thông, f là hàmchỉnh hình trên K. Khi đó f là giới hạn đều trên K của một dãy các đathức.Định lý 1.6. Định lý Mergelyan.Giả sử K là tập compact trong C và C \ K là tập liên thông. Khi đó vớimọi hàm f : K → C liên tục sao cho f |int(K) : int(K) → C là hàm chỉnhhình có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức.1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụĐịnh nghĩa 1.5. Tập K ⊂ Cn đượ ...