Tuyển tập đề thi hoc sinh giỏi Hải Dương P1 cực khó

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Hải Dương là tài liệu tham khảo cũng như rèn luyện kỹ năng, hoàn thiện kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập đề thi hoc sinh giỏi Hải Dương P1 cực khóTUY N T P THI MÔN TOÁN THCS T NH H I DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.2006 1 GI I THI U Tuy n t p thi này g m t t c 10 thi tuy n sinh vào trư ng THPTchuyên Nguy n Trãi – T nh H i Dương (môn Toán chuyên) và 10 thi h csinh gi i c p t nh H i Dương. Ph n cu i tuy n t p là 30 bài toán ư c ch n tcác thi khác. C u trúc tuy n t p như sau:Ph n I: thi tuy n sinh vào l p 10Ph n II: thi h c sinh gi i c p t nhPh n III: M t s bài toán t các thi khác Xin chú thích thêm v các bài toán Ph n III, ó là các bài toán ư cch n t các thi Toán không ư c gi i thi u toàn b trong tuy n t p này. Cónhi u bài toán khó, phân lo i h c sinh trong các cu c thi, ho c nh ng bàitoán ã ư c c i biên cho hay hơn, khó hơn. Tuy n t p này không có l i gi i, m i v n h i áp, yêu c u, góp ý xinxem t i http://mathnfriend.net Toán cho h c sinh THCS thi- áp ánTuy n t p thi T nh H i Dương Tuy n t p ch c ch n s không tránh kh i thi u sót, mong các b n thôngc m. hieuchuoi@ Tháng 7.2006 2 PH N ITHI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI MÔN THI: TOÁN CHUYÊN 3 THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1997-1998 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN – TH I GIAN: 150 PHÚTCâu I: 1) Tìm các s t nhiên a, b th a mãn: ab = (a − 1) 2 + (b + 1) 2 2) Tìm các s t nhiên x, y, z th a mãn: x 3 − 4 y 3 − 2 z 3 = 0Câu II: 1) Tính t ng 1 1 1 1 1 1 S = 1+ + + 1+ + + .... + 1 + + 2 2 32 32 42 1997 2 19982 2) Tính giá tr bi u th c A: 1 1 1 A = x2 + x2 + x + 1 v i x = 2+ − 2 2 8 8Câu III: Ba ư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ư ng tròn ngo i ti p tam giácABC t i A1 , B1 , C1 . Ch ng minh r ng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CACâu IV: Cho hình bình hành ABCD, ư ng phân giác BAD c t c nh BC và CD t i Mvà N. 1) Ch ng minh r ng: Tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác CMN n m trên ư ng tròn ngo i ti p tam giác CBD . 2) G i K là giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác CMN và ư ng tròn ngo i ti p tam giác CBD. Ch ng minh r ng AKC = 900 .Câu V: Ch ng minh b t ng th c: 2 a−b b−c c−a  1 1  + + ≤ −  c a b  1997 1998 Trong ó 1997 ≤ a, b, c ≤ 1998 4 THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚTCâu I:  xy − y = 2  Gi i h phương trình  yz − z = 2  zx − x = 2 Câu II: Dãy s a1, a2 ,..., an ư c cho theo quy lu t sau: 1 1 a1 = 1; a2 = a1 + ;....; an = an−1 + a1 an−1 Ch ng minh r ng 17 < a145 < 21Câu III: Cho tam giác ABC không cân, BD và CE là hai ư ng phân giác trong c agóc B và góc C c t nhau t i I sao cho ID=IE 1) Tính l n góc BAC . 2) Ch ng minh ng th c 3 1 1 = + AB + BC + CA AB + BC BC + CACâu IV: Cho tam giác ABC, M là m t i m b t kì n m trong tam giác. AM, BM,CM l n lư t c t các c nh BC, CA, AB t i P, Q, R.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: AM BM CM + + MP MQ MR 5 THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚTCâu I:  x 2 + 3 xy + 2 y 2 − x + y − 6 = 0 Gi i h phương trình  2  x + xy − 2 y + 8 x + 10 x + 12 = 0 2Câu II: Tìm các s nguyên k, m, n ôi m t khác nhau và ng th i khác 0 ath c x ( x − k )( x − m )( x − n ) + 1 phân tích thành tích c a hai a th c v i h snguyên.Câu III: Cho ư ng tròn tâm O và m t i m M n m ngoài hình tròn. Qua M k cáttuy n c t ư ng tròn t i B, C (MC > MB) và ti p tuy n MA (A là ti p i m). 1) G i E, F là chân ư ng cao c a tam giác ABC k t B, C. Ch ng minh r ng EF luôn song song v i m t ư ng th ng c nh khi cát tuy n MBC thay i. 2) G i H là hình chi u vuông góc c a A trên MO. Ch ng minh r ng t giác BHOC là t giác n i ti p. 3) Tìm qu tích tr ng tâm tam giác ABC khi cát tuy n MBC thay i.Câu IV: Cho a giác l i A1 A2 A3 A4 A5 A 6 A7 A8 có các góc nh b ng nhau và dàicác c nh là nh ng s nguyên. Ngư i ta tô m i c nh b ng m t trong hai màuxanh ho c . Ch ng minh r ng bao gi cũng t n t i cách tô màu sao cho t ng dàicác c nh màu xanh b ng t ng dài các c nh màu .Câu V: Ch ng minh b t ng th c: m 1 − 2 ≥ 2 v i m, n ∈ N * n n ( 3+ 2 ) ...