Về M cơ sở mạnh trong không gian Banach

Bài viết Về M cơ sở mạnh trong không gian Banach trình bày kết quả thu được trong bài báo dựa trên tính ổn định của M -cơ sở mạnh trong không gian Hilbert. Trước tiên, với hai dãy M -cơ sở mạnh cho trước, luôn tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T sao cho E I T  là một đơn cấu tuyến tính liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về M cơ sở mạnh trong không gian BanachTạp chí Khoa học Trường Đại học Cần ThơTập 53, Phần A (2017): 118-124DOI:10.22144/ctu.jvn.2017.148VỀ M-CƠ SỞ MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACHTrần Văn SựKhoa Toán, Trường Đại học Quảng NamThông tin chung:Ngày nhận bài: 22/05/2017Ngày nhận bài sửa: 01/08/2017Ngày duyệt đăng: 29/11/2017Title:On strong M-bases in BanachspacesABSTRACTThe aim of this paper is to study necessary and sufficient conditions suchthat a given system will become a strong M -base in Banach Spaces. Theresults obtained in this article were based on the stability of strong M bases in Hilbert Spaces. Firstly, for two strong M -bases given, therewould exists a continuous linear operator, which is denoted by T , suchthat I E  T is a continuous linear injective. Under the suitableassumptions, I E  T will become a continuous linear isomorphism.Từ khóa:Độc lập tuyến tính, Khônggian Banach, - cơ sở mạnh,Tính ổn định, Tính liên tụcSecondly, a sufficient condition on the existences of a strong M -base ingiven Banach space is also provided as well. Finally, a conclusion to theobtained results is also proposed.Keywords:Linear independent, Banachspaces, On strong - bases,Stability, ContinuityBài báo này nhằm mục đích nghiên cứu một số điều kiện cần và đủ saocho một hệ thống cho trước trở thành một M -cơ sở mạnh trong khônggian Banach. Các kết quả thu được trong bài báo dựa trên tính ổn địnhcủa M -cơ sở mạnh trong không gian Hilbert. Trước tiên, với hai dãyM -cơ sở mạnh cho trước, luôn tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục Tsao cho I E  T là một đơn cấu tuyến tính liên tục. Dưới các giả thiết phùTÓM TẮThợp, I E  T sẽ trở thành một đẳng cấu tuyến tính. Tiếp theo, một điềukiện đủ về sự tồn tại của một M -cơ sở mạnh trong không gian Banachcho trước cũng được dẫn tốt. Cuối cùng, một sự kết luận cho các kếtquả thu được cũng được đề xuất.Trích dẫn: Trần Văn Sự, 2017. Về M-cơ sở mạnh trong không gian Banach. Tạp chí Khoa học Trường Đạihọc Cần Thơ. 53a: 118-124.Ta có thể mô tả lại bài toán trên như sau: vớiGIỚI THIỆUđiều kiện nào của dãyTrong không gian Banach có nhiều loại cơ sởkhác nhau, chẳng hạn như cơ sở Cesaro, cơ sởMarkusĕvic (hay M -cơ sở), cơ sở Schäuder, …Để nghiên cứu tính ổn định của các loại cơ sở nàytrong không gian Banach, Paley, Wiener và Bary(Paley et al., 1934) đã đề xuất bài toán sau:en n1,2,..., yn n1,2,...,đủ gần dãythì nó cũng là một cơ sở Schäudercủa không gian Banach E?Bài toán này được quan tâm nghiên cứu nhiềubởi nhiều nhà toán học (Singer, 1970; Retherford etal., 1971; Singer, 1981; Sinha, 2000; Kasimov,2002 ). Nhiều điều kiện ổn định trong trường hợpcơ sở Schäuder đưa ra hầu hết đều độc lập, tức làtừ điều kiện này không thể sinh ra điều kiện khácBài toán 1: Với điều kiện nào của một dãy chotrước đủ gần với một cơ sở Schäuder cho trướccũng là một cơ sở Schäuder trong không gianBanach?118Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần ThơTập 53, Phần A (2017): 118-124(Singer, 1970), và được chỉ ra bằng nhiều ví dụ cụthể trong giải tích hàm. Được biết rằng, mỗi cơ sởSchäuder là một M -cơ sở mạnh (Singer, 1970;Singer, 1981). Điều này cho biết M -cơ sở mạnhlà mạnh hơn cơ sở Schäuder. Do đó, các kết quả cótrong cơ sở Schäuder không thể áp dụng trực tiếpcho M -cơ sở mạnh được. Vì vậy, việc nghiên cứucác tính chất liên quan đến sự ổn định của M -cơsở mạnh là một việc làm có ý nghĩa và cần thiết đốivới bài báo này.(ii)ei : i  I (iii)vẹnvẹn),nếugọi là M -cơ sở (hay cơ sở(ii) Nếu họ { f i }iI  E tồn tại và duy nhất*thì nó được gọi là họ hàm liên kết qua M - cơ sở{ei }iI .(iii) Một M -cơ sở {ei }iI với họ hàm liênkết { f i }iI được gọi là M -cơ sở mạnh khi mỗix  E thì x   fi ( x) ei .iI2.3 Ví dụXétnếu f i (e j )   i j với mọi i, j  I trong đólà Krockener delta. Hệ song trực giaokhônggianHilbert2E  l2   x   xn n :  xn    với tíchn 1vô hướng sau: x, y   xn ynn 1được gọi là song trực giaoi jXét họei , fi iIx   xn n , y   yn n  E.ei i  Eđược xác định bởi1, khi i  jei ( j )  .0, khi i  jđược gọi là cực đại nếu nó không có mở rộng thựckhông cực đạiVới mọi i   , xét hàm f i : E   đượcthì tồn tại e0  X , e0  ei , i  I , f 0  X ,* e0 , f 0  là song trực giao.toànvẹn.Các định nghĩa dưới đây là cơ sở để nghiên cứutính chất ổn định của M -cơ sở mạnh trong khônggian Banach và hơn nữa, có thể tìm thấy trong cáctài liệu (Singer, 1970; Retherford et al., 1971;Singer, 1981; Sinha, 2000; Kasimov, 2002 ).2.1 Định nghĩahệlàtắtcho hệ {ei , f i }iI là song trực giao đầy đủ và toànvới I là một tập chỉ số tùy ý.chogọi(hay**Cho E là một không gian Banach tùy ý, E làmột không gian đối ngẫu tôpô của E và cho mộtf 0  fi  i  I  saođược gọi là E  toànMarkusĕvic) của E nếu tồn tại { f i }i  I  E sao*ei , fi iIei , fi iI(i) Họ {ei }iICÁC KIẾN THỨC CƠ SỞsự nào, theo nghĩa, nếunghĩa làĐịnh nghĩa 2.1 là cơ sở cho các định nghĩa dướiđây và sẽ được phát biểu như sau:2.2 Định nghĩatoán tử đồng nhất và A là toán tử tuyến tính cóchuẩn bé hơn 1.ei , fi iIHệe  E , fi (e)  0, i  I  e  0.Phương pháp nghiên cứu chính trong bài báonày là sử dụng công cụ của giải tích hàm như côngthức tính chuẩn, ánh xạ ngược, tính chất đẳng cấucủa toán tử I E  A : E  E với I E : E  E là(i) Hệlà trù mật trong E ,span{ei : i  I }  E.Mục đích chính của bài báo là nghiên cứu tínhổn định cho Bài toán 1 trên dựa vào một cơ sởtổng quát hơn đó là M -cơ sở hay cơ sởMarkusĕvic.ei iI  E,được gọi là E -đầy đủ(hay gọi tắt là đầy đủ) nếu không gian con sinh bởiTrong bài báo, không gian Banach xác địnhtrong trường số phức  luôn được ký hiệu bằngmột ký tự E , tập chỉ số tùy ý được ký hiệu bằngký tự I .họei , fi iIHệđịnh nghĩa b ...