Bài giảng Chuỗi lũy thừa

Bài giảng Chuỗi lũy thừa cung cấp cho các bạn những kiến thức về định nghĩa, tính chất chuỗi lũy thừa; chuỗi Taylor; chuỗi Maclaurin cơ bản và một số kiến thức khác. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về những nội dung này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chuỗi lũy thừaCHUỖILŨYTHỪA ĐỊNH NGHĨAChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: n an ( x − x0 ) , an R là giá trị cho trước n =1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: � n � D = �x �R : an ( x − x0 ) ho�i tu� � � n =1Nếu đặt X=x–x0, chuỗi trở thành an X n , n =1nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗinày. ĐịnhlýAbel Ne� u an x n ho� i tu� ta� i x0 0 th�ho� i tu� n =1 tuye� i trong ( − x0 , x0 ) t �o�Hệquả:Ne� u an x n pha� n ky� ta� i x0 th�pha� n ky� n =1ta� i mo� ix [ − x0 , x0 ] Chứng minh định lýNe� u an x n ho� i tu� ta� i x0 0 th�lim an x0n = 0 n =1 n n� ∃M > 0 : an x0 �M , ∀n n n n n �x � x an x = an x0 � � M x �x0 � 0 x∀x �( − x0 , x0 ) : BánkínhhộitụSo� R >0 sao cho an x n ho� trong ( − R, R ) i tu� n =1va� pha� n ky� be� i [ − R, R ] go� n ngoa� i la� ba� n k� nhho� i tu� cu� a chuo� i.( − R, R ) go� i la� khoa� ng ho� i tu� cu� a chuo� i.Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ củachuỗi chỉ cần xét thêm tại R Trường hợp chuỗi tổng quát n an ( x − x0 ) n =1So� R >0 sao cho an ( x − x0 ) n ho� i tu� trong n =1( x0 − R, x0 + R ) va� pha� n ky� be� i [ x0 − R, x0 + R ] n ngoa�go� i la� ba� n k� nh ho� i tu� cu� a chuo� i. Khoảng hội tụ: ( x0 − R, x0 + R ) Cách tìm bán kính hội tụ an +1Tính: α = lim n an hoặc α = lim n n an 0, α = + 1 �R= , 0 < α < +� (BKHT) α + , α = 0 R = 0 : MHT ={ 0} ( hoa� i TQ ) c{ x0 } cho chuo� R= : MHT = ( − , + ) Lưuý1.Cóthểtínhbánkínhhộitụnhưsau: 1 an R = lim hayR = lim n n a n x an +12.TrườnghợpR=0hayR= ,khôngđược gọilàbánkínhhộitụnhưngcóthểgọi tạmchodễsửdụng. 3.Tacóthểtìmbánkínhhộitụđểsuyra khoảnght.Sauđóxétthêm2đầukhoảng nàyđểchỉraMHT. Vídụ n n (−1) n (−1)1 / T� m mie� n ho� i tu� x an = n =1 n n 1 n R = lim = lim n = 1 Khoảng ht: (−1,1) n n a n n (−1) n x = 1 : chuo�i tr�� tha�nh , ht theo tc L. n =1 n 1 x = −1: chuo� i tr�� tha�nh , pha� n ky� n =1 n Va�y mie� n ho� i tu�la�: D = ( −1,1] 2 (n!) n2 / T� m ba� n k� nh ho� i tu� : x n =1 (2n)! 2 (n!)an = (2n)! (n!) 2 an (2n)! R = lim = lim n an +1 n [ (n + 1)!] 2 (2n + 2)! ...