Bài giảng Giải tích B1: Chương 1.2 - Cao Nghi Thục

Bài giảng Giải tích B1: Chương 1.2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Đạo hàm và Vi phân cấp cao; Quy tắc L’Hospital; Khai triển Taylor. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích B1: Chương 1.2 - Cao Nghi Thục GIẢI  TÍCH  B1   GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Đạo  hàm   Page  § 2 Đạo hàm §Định  nghĩa   Nếu  đặt  ∆x = x   − x &; ∆y = f x & + ∆x − f x &  thì     f x & + ∆x − f x& ∆y f’ x& = lim = lim ∆/→& ∆x ∆/→& ∆x Page  § 3 Đạo  hàm   Page  § 4 Đạo  hàm   Page  § 5 Đạo  hàm   § Bảng  đạo  hàm  của  một  số  hàm  số  sơ  cấp   : : 5. sinx 5 = cosx; cosx 5 = −sinx; tanx 5 = ; cotx 5 = − =?@> / ; / : : 6. arcsinx 5 = > ; arccosx 5=− ;; :  CD :  CD> : :         arctanx 5 = :ED> ; arccotx 5 = − :ED> Page  § 6 Vi  Phân §Định nghĩa Hàm f(x)  khả vi  tại x0 nếu f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx) Khi đó,  tích f ʹ′( x0 )Δx gọi là vi  phân của f(x)  tại x0 Ký kiệu:   df = f ʹ′( x)Δx = f ʹ′( x).dx Page  § 7 Vi  Phân §VD15 Tính  vi  phân  của  hàm   tan x y = f ( x) = 2 tan x tan x 2 .ln 2 dy = 2 .ln 2.( tan x )ʹ′.dx = 2 .dx 2 tan x .cos x Page  § 8 Vi  Phân Các  quy  tắc  tính  vi  phân Vi  phân  của  tổng,  tích,  thương d(u+v)=d(u)+d(v) d(uv)=vdu+udv ⎛ u ⎞ vdu − udv d ⎜ ⎟ = 2 (v ≠ 0) ⎝ v ⎠ v Page  § 9 Vi  Phân Áp  dụng  vi  phân  tính  gần  đúng Cho  f(x)  khả  vi  tại  x0 khi  đó: f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx) Bỏ  qua  VCB  bậc  cao  ta  có f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) ≈ f ʹ′( x0 )Δx Hay   f ( x0 + Δx) ≈ f ( x0 ) + f ʹ′( x0 )Δx Page  § 10 Vi  Phân §VD16 Tính gần đúng cos610 π π y = f ( x) = cos x, x0 = , Δx = 3 180 π π 3 π π 1 f ʹ′( x) = − sin x, f ʹ′( ) = − sin = − , f ( ) = cos = 3 3 2 3 3 2 0 π π π π π cos61 = cos( + ) ≈ cos + f ʹ′( ). 3 180 3 3 180 1 3 π ≈ +− . ≈ 0.484 2 Page  § 11 2 180 Vi  Phân VD17 Cho  hàm số y = f ( x) = x3 .  Dùng vi  phân tính gần đúng f(2,001)  . Page  § 12 Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao Đạo  hàm  cấp  cao Nếu  f(x)  có  đạo  hàm  f’(x)  thì  f’(x)  gọi  là  đạo  hàm  cấp  1 Nếu  f’(x)  có  đạo  hàm  thì  đạo  hàm  này  gọi  là  đạo  hàm   cấp  2,  ký  hiệu  f’’(x)   … Đạo  hàm  của  đạo  hàm  cấp  n-­1  gọi  là  đạo  hàm  cấp  n,   ký  hiệu   (n) ( n−1) f ( x) = [ f ( x)]ʹ′ Page  § 13 Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao (n) VD  18 Cho  hàm  số  y=  sinx.  Tính y ( x) VD  19 Cho  hàm  số  y=  cosx.  Tính y ( n ) ( x) : (n) VD  20    Cho  hàm  số  y=   / .  Tính y ( x) Page  § 14 Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao Vi  phân  cấp  cao Nếu  f(x)  khả  vi    thì  dy=f’(x).dx  gọi  là  vi  phân  cấp  1 2 2 Vi  phân  của  dy  gọi  là  vi  phân  cấp  2,  ký  hiệu   d y = y ʹ′ʹ′( x).dx … n (n) n Tổng  quát  vi  phân  cấp  n,  ký  hiệu   d y = y ( x).dx Page  § 15 Quy  tắc  L’Hospital §Quy tắc L’Hospital 0 ∞ Áp dụng cho dạng vô định , 0 ∞ Định lý 1 Cho f(x),g(x) xđ, khả vi tại lân cận x = x0 (có thể trừ tại điểm x0) § lim f ( x) = 0, lim g ( x) = 0, g ʹ′( x0 ) ≠ 0 x → x0 x → x0 Ở lân cận x = x0 f ʹ′( x) f ( x) Khi đó, nếu lim =A thì lim =A x → x0 g ʹ′( x) x→ x0 g ( x) Page  § 16 Quy  tắc  L’Hospital §VD21 Tính x cos x − sin x lim x →0 x sin x L cos x − x sin x − cos x − x sin x = lim = lim x →0 sin x + x cos x x →0 sin x + x cos x Page  § 17 Quy  tắc  L’Hospital 2 §VD22 Tính x −1 lim 2 x →1 x − 4.x + 3 Page  § 18 Quy  tắc  L’Hospital §Quy tắc L’Hospital 0 ∞ Áp dụng cho dạng vô định , ...