Bài giảng: Phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo hàm của hàm số đó. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số có mặt trong phương trình đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng: Phương trình vi phân- GVHD : Lê Ngọc Cường- Lớp HP : 1016FMAT0211 Mục lục:Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li. • Phương trình vi phân có dạng y’= f(x). • Phương trình đẳng cấp cấp 1. • Phương trình tuyến tính cấp 1. • Phương trình Bernoulli.Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. Ứng dụng của phương trình vi phân. • Mô hình ô nhiễm môi trường.Các khái niệm cơ bản:• Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệgiữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết vàđạo hàm của hàm số đó.• Cấp của phương trình vi phân: là cấp cao nhất của đạohàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó.-Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụthuộc y là trong đó không đượckhuyết .• Nghiệm của phưng trình vi phân:Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khithay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi lànghiệm của PTVP đó. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 có dạng : + Dạng tổng quát F(x, y, y’) =0 + Dạng chính tắc y’= f(x) 2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm : - Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miềnmở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn ∈yo=y(xo). Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duynhất 3.Điều kiện ban đầu của PTVP: Nếu gọi là điều kiện ban đầu 2.Các loại phương trình vi phân cấp 1 2.1 Phương trình có dạng y’= f (x) Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được 2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li:a. Dạng: f(x)dx = g(y)dyb. PP: tích phân 2 vế ta được ∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + c vd: xdx + ydy = 0 tích phân 2 vế ta được 2 x + y =c 2 ∫ xdx + ∫ ydy = c ⇒ 2 2 ⇒ x + y = 2c là nghiệm của phương trình. 2 2 2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1: a.Dạng (1) ycách làm: Đặt u = ⇒ y = u.x ⇒ y = u + xu xThay y’ vào phương trình (1) ta được vd: gpt ( x + 2 y )dx − xdy = 0 dy y ⇒ =1+ 2 (ĐK :x ≠ 0) dx x y ⇒ y = u.x ⇒ y = u + xu Đặt u= xThay y’ vào phương trình ta được u + xu = 1 + 2u ⇒ du = dx (ĐK : 1 + u ≠ 0) 1+ u x ⇒ ln 1 + u = ln x + c ⇒ 1 + u = c.x y y = x(cx − 1) Thay u= ta có: xTrường hợp x = 0 là nghiệm của (1) .b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp- Dạng- Cách giải:+ Xét định thức + Đặt: dY  aX + bY Khi đó ta có = f  dX  dX + eY Đặt .Ta giải  giải PT đẳng cấp+ Nếu định thức thìĐặt đưa về PT vế phải không chứaVí dụ: GPT Ta có: Đặt:Khi đó ta có: (*) Đặt:2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Dạng: y + P( x) y = Q( x) (*) • Nếu Q ( x ) = 0 thì phương trình y + P ( x) y = 0 được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. • Nếu Q( x) ≠ 0 thì phương trình (*) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình a. Cách giải: tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: − ∫ P ( x ) dx y=e [ ∫ Q( x).e ∫ P ( x ) dx dx + c]⇒ Cách giải: Bước 1: giải pt thuần nhất: y + P ( x) y = 0 ( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho) Bước 2: Coi D=D(x)thay y’ vào PT: y + P ( x) y = Q ( x) được: ⇒ D( x) = ∫ Q( x).e ∫ P ( x ) dx dx + c]Ví dụ: GPT (*)Xét phương trình thuần nhất:Coi D=D(x) Thay y’ vào (*) ta được: (1) 2.5 Phương trình Bernouli αa) Dạng y + P( x) y = Q( x). y (*) αa) Cách giải:+, =0 (*) là pt tuyến tính cấp 1 +, α =1 (*) có dạng y +[ P ( x) − Q( x)] y = 0 Đây là pt tuyến tính cấp 1 thuần nhất α + α #0,1chia cả 2 vế y (*) có dạngy′ y′ y′ + P( x) α = Q( xĐặt ) z=y 1−α ...