Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích - Nguyễn Phương

Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản về hàm số; giới hạn của hàm số; hàm số liên tục; đạo hàm của hàm số; đạo hàm cấp cao; vi phân của hàm số; ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích - Nguyễn Phương Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 1. Hàm một biến số Nguyễn Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 30 tháng 11 năm 2022 1 NỘI DUNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 3 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 9 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 29 4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 35 5 ĐẠO HÀM CẤP CAO 49 6 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 50 7 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 57 Tìm giới hạn của hàm có dang vô định 57 Công thức Taylor - Maclaurin 62 Sự biến thiên của hàm số 72 Cực trị của hàm số 73 8 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 80 Giá trị biên tế (Marginal quantity) 80 Độ co dãn (Elasticity) 84 Tối ưu trong kinh tế 87 2 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) là một phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f (x). f: X → Y x 7 → y = f (x) f x f (x) 1 X được gọi là tập hợp nguồn. 2 Y được gọi là tập hợp đích. 3 y được gọi là ảnh của x qua f . 3 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 4 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Với mỗi y ∈ Y , tập con của X gồm các phần tử có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của phần tử y qua f , ký hiệu là f −1 (y) f −1 (y) = {x ∈ X|f (x) = y} Với mỗi tập con A ⊂ X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f (A) f (A) = {f (x)|x ∈ A} Với mỗi tập con B ⊂ Y , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh f (x) ∈ B được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của tập B ký hiệu là f −1 (B) f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} 5 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 6 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.2. Cho D ⊆ R. Ánh xạ f : D −→ R x 7−→ y = f (x) được gọi là hàm số 1 biến. - Miền xác định: ? - Miền giá trị: ? 7 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Ví dụ 1.1. Cho hàm số f (x) = x3 + x2 . Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1). Ví dụ 1.2. - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d - Hàm cầu: QD = f (P ) = aP + b 8 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 2.1. Xét hàm số f (x) = x2 − x + 2 và cho giá trị của x gần 2. 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 2.1. Cho f : D −→ R xác định bởi y = f (x), khi x có giá trị gần a thì ta viết lim f (x) = L, x→a và ta đọc là 'giới hạn của f (x) bằng L khi x tiến về a' nếu có thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L (gần với L như chúng ta muốn) bằng cách hạn chế x đủ gần với a (ở hai phía của a) nhưng không bằng a. Nếu không có số L như vậy, ta nói rằng giới hạn của f (x) khi x tiến về a là không tồn tại. 10 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 2.2. Cho y = f (x) và L, a là hai số thực. L là giới hạn của hàm y = f (x) khi x tiến về a, ký hiệu lim f (x) = L, x→a nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ. 11 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ y y = f (x) L+ϵ |f (x) − L| < ϵ L L−ϵ ( ) x a−δ a a+δ 0 < |x − a| < δ 12 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 2.3. Ta viết lim f (x) = L, x→a− và ta đọc là 'giới hạn trái của f (x) bằng L khi x tiến về từ bên trái a' nếu có thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L bằng cách hạn chế x đủ gần với a và x nhỏ hơn a. 13 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 2.4. Ta viết lim f (x) = L, x→a+ và ta đọc là 'giới hạn phải của f (x) bằng L khi x tiến về từ bên phải a' nếu có thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L bằng cách hạn chế x đủ gần với a và x lớn hơn a. 14 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ y y = f (x) L =⇒ lim− f (x) = L x→a L−ϵ ( ) x a−δ a y y = f (x) L+ϵ L =⇒ lim+ f (x) = L x→a ( ) x a a+δ 15 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định lý 2.1. lim f ...