Bài giảng Vi tích phân 1B: Đạo hàm

Bài giảng Vi tích phân 1B: Đạo hàm, cung cấp cho người học những kiến thức như Định nghĩa; Ý nghĩa đạo hàm; Công thức tính; Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục; Các định lý về giá trị trung bình; Đạo hàm cấp cao; Công thức Taylor, Maclaurint; Quy tắc Lopital. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân 1B: Đạo hàmĐạo hàmSố thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Đạo hàm Định nghĩa Ý nghĩa đạo hàm Công thức tính Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Các định lý về giá trị trung bình Đạo hàm cấp cao Công thức Taylor, Maclaurint Quy tắc Lopital VI TÍCH PHÂN 1B 137/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierĐịnh nghĩa đạo hàm Đạo hàm Xét hàm số f xác định trong lân cận của điểm a (khoảng mở chứa a). Ta ký hiệu f (x) − f (a) f (a) = lim (nếu tồn tại giới hạn), (8) x→a x −a và f (a) được gọi là đạo hàm của f tại điểm a. Ta cũng nói rằng f có đạo hàm tại a. Nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói f không có đạo hàm tại a. Hình thức (8) còn được viết dưới dạng sau đây f (a + h) − f (a) f (a) = lim (9) h→0 h VI TÍCH PHÂN 1B 138/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierĐịnh nghĩa đạo hàm Ví dụ Tính đạo hàm của hàm f định bởi f (x) = x 3 , tại điểm a. Nếu dùng định nghĩa (8) thì ta có f (x) − f (a) f (a) = lim x→a x −a x 3 − a3 = lim x→a x − a (x − a)(x 2 + xa + a2 ) = lim x→a x −a = lim (x + xa + a2 ) = a2 + a.a + a2 = 3a2 . 2 x→a VI TÍCH PHÂN 1B 139/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierĐịnh nghĩa đạo hàm Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm f định bởi f (x) = , tại điểm a = 0. x Nếu dùng định nghĩa dạng (9) thì ta có f (a + h) − f (a) f (a) = lim h→0 h 1 1 1 = lim · − h→0 h a+h a a − (a + h) = lim h→0 ha(a + h) −1 1 = lim = − 2. h→0 a(a + h) a VI TÍCH PHÂN 1B 140/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierĐịnh nghĩa Ví dụ  1 x 2 sin , x =0  Tìm f (0), biết f (x) = x 0, x =0  f (0 + h) − f (0) f (0) = lim h→0 h h 2 sin 1 − 0 h = lim h→0 h 1 = lim h sin = 0, h→0 h kết quả 0 sau cùng là do định lý giới hạn kẹp áp dụng vào bất 1 đẳng thức ∀h = 0, −|h| ≤ h sin h ≤ |h|. VI TÍCH PHÂN 1B 141/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierÝ nghĩa: Đạo hàm & Tiếp tuyến Xem lại định nghĩa (8), nếu ta gọi P(a, f (a)) và Q(x, f (x)) là hai điểm thuộc đồ thị của f như hình vẽ bên, thì f (x) − f (a) mPQ = là x −a độ dốc (hệ số góc) của cát tuyến PQ. VI TÍCH PHÂN 1B 142/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierÝ nghĩa: Đạo hàm & Tiếp tuyến Khi x → a thì điểm Q tiến dần về điểm P. Nếu tồn tại f (a), nghĩa là tồn tại lim mPQ , thì cát Q→P tuyến PQ sẽ di chuyển đến một vị trí cố định, là một đường thẳng qua P, có độ dốc (hệ số góc) là f (a), mà ta sẽ định nghĩa là tiếp tuyến với đồ thị củ ...