Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục

Nhằm phục vụ quá trình học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục sẽ là tư liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo để chuẩn bị tốt cho các kì kiểm tra sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tụcChuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤCI- LÝ THUYẾT: 1. Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng: o Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) nếu: lim  f ( x )  = f ( x0 )   . x → x0 (Điểm x0 tại đó y = f ( x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số)Hoặc: Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) : lim  f ( x )  = lim−  f ( x )  = f ( x0 ) +  x→ x0   . x → x0 o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) được gọi là liên tục trên khoảng ( a; b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng [ a; b ] được gọi là liên tục trên đoạn [ a; b ] nếu:   f ( x) liªn tôc trªn ( a; b )   x →a + f ( x ) = f ( a ) lim   x → b − f ( x ) = f (b )  lim 2. Một số định lý về hàm số liên tục: f ( x) o Định lý 1: NÕu f ( x) vµ g ( x) liªn tôc t¹i x0 th×: f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ) .g ( x ) ; g ( x) ( g ( x ) ≠ 0 ) còng liªn tôc t¹i x 0 o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung bình giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f (a ). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một sè c ∈ ( a; b ) : f (c) = 0 . 3. Một số thuật toán cần lưu ý: a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm x0 : Bước 1: Tính f ( x0 ) . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn lim  f ( x )  x → x0   Bước 2: So sánh f ( x0 ) và lim  f ( x )  để đưa ra kết luận x → x0    lim  f ( x )  = f ( x0 ) x → x0   Hµm sè liªn tôc t¹i x0 ⇔   lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x )  x→ xo−    x→ xo+   0 b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] o Chứng tỏ f (a ). f (b) < 0 . Khi đó f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( a; b ) .Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP HuếChuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 • Muốn chứng minh : f ( x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đó f ( x) = 0 đều có nghiệm.II- LUYỆN TẬP:Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x0 đã chỉ ra:  x2 − 9  2 − 7 x + 5 x 2 − x3  khi x ≠ 3  khi x ≠ 21) f ( x) =  x − 3 tại x0 = 3 2) f ( x ) =  x 2 − 3 x + 2 tại x0 = 2 6 khi x = 3 1 khi x = 2    x3 + x + 2  x 3 + 1 khi x ≠ −1 1 − 2 x − 3   khi x ≠ 23) f ( x ) =  tại x0 = −1 4) f ( x ) =  2 − x tại x0 = 2  4 1 khi x = −1  khi x = 2 3   3 3x + 2 − 2  x −2  khi x ≠ 2  khi x ≠ 4  x−2  x+5 −35) f ( x ) =  tại x0 = 26) f ( x ) =  tại x0 = 4 3 khi x = 2 3 khi x = 4 4  2  x2 + 4 khi x < 2  x 4 + x 2 − 1 khi x ≤ −17) f ( x ) =  tại x0 = 2 8) f ( x ) =  tại x0 = −1  2 x + 1 khi x ≥ 2 3x + 2 khi x > −1  x −5  x2  khi x < 0  2 x − 1 − 3 khi x > 5 9) f ( x ) =  tại x0 = 0 10) f ( x ) =  tại x0 = 5 ...