Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

"Chuyên đề Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức a b c 3 + + ≥VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: b+c c+a a +b 2 y+z−x  a = 2 x = b +c  1 y+z−x x+z− y x+ y−z 3 x+z− y  Ta đặt  y = c + a ⇒ b = nên BĐT ⇔  + + ÷≥ 2 2 x y z 2 z = a + b   x+ y−z  c =  2  x y  y z   z x xy yz zx ⇔  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ 2 . + 2 . + 2 . = 6 (đúng)  y x  z y x z yx zy xzVậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = cVD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 . CMR:xy yz zx + + ≥3 z x y  xy a = z   yz với a, b, c > 0 từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇔ ab + bc + ca = 3Đặ t  b = x   zx c = y Và BĐT cần CM ⇔ CM BĐT a + b + c ≥ 3mặt khác ta có BĐT sau: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca ) = 3Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1 149VD3: Cho x, y, z >0 thoả x + y + z = 1 . CMR + + ≥ 36 xyz  a x = a + b + c   bTừ giả thiết ta có thể đặt:  y = với a,b,c >0 a+b+c   c z = a +b + c  a+b+c a+b+c a+b+cNên BĐT ⇔ CM + 4. + 9. ≥ 36 a b c bc a c a b ⇔ + + 4. + 4. + 9. + 9. ≥ 22 aa b b c c b a c a  c b ba ca cb⇔  + 4. ÷+  + 9. ÷+  4. + 9. ÷ ≥ 2 .4. + 2 .9. + 2 4. .9. = 22 (đúng) a b a c  b c ab ac bc  1 x = 6  b = 2a  1Dấu “=” xảy ra ⇔  ⇒ y =  c = 3a  3  1 z = 2 VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR xyz ≥ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) x = b +c Ta đặt  y = c + a với a, b, c > 0 nên BĐT ⇔ CM BĐT (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc z = a + b mặt khác ta có (a + b)(b + c)(c + a ) − 8abc = a (b − c ) 2 + b(c − a ) 2 + c(a − b) 2 ≥ 0Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = zVD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .  1  1  1CMR:  a − 1 + ÷ b − 1 + ÷ c − 1 + ÷ ≤ 1  b  c  a  x a = y   yDo abc = 1 nên ta có thể đặt b = với x, y , z > 0 z   z c = x  x z  y x  z yNên BĐT có thể viết lại  − 1 + ÷ − 1 + ÷ − 1 + ÷ ≤ 1 y  z z  x x y ⇔ xyz ≥ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) (đã CM ở VD4)Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . 1 1 1 3 +3 +3 ≥CMR : 3 a (b + c) b (c + a ) c (a + b) 2  1 a = x   1Ta đặt b = với x, y , z > 0 và do abc = 1 nên xyz = 1 y   1 c =  z x2 y2 z2 3Nên BĐT ⇔ ...