Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Bài toán tối ưu; phân tích động; phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội Chương 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1. Cực trị 1. Định nghĩa Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại a  Df nếu tồn tại một lân cận V(a) nào đó của điểm a, V(a)  Df' , sao cho f(x) < f(a) (f(x) > f(a)), x  V(a) \ a Các giá trị cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung là các cực trị. Cực trị của một hàm số mang tính chất địa phương, vì chỉ đƣợc xét trong một lân cận V(a). 2. Điều kiện cần Định lý Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại a thì y'(a) = 0 hoặc không tồn tại y'(a) Những điểm mà y'(a) = 0 đƣợc gọi là các điểm dừng. Các điểm dừng và các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm đƣợc gọi là điểm ngờ (có cực trị). Cho nên muốn tìm các cực trị, ta chỉ cần xét trên tập hợp các điểm ngờ. 3. Điều kiện đủ a. Định lý (Điều kiện đủ thứ 1) Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trong V(a), có đạo hàm (hữu hạn) trong V(a) (có thể trừ tại a) và a là một điểm ngờ.  Nếu f '(x) đổi dấu từ + sang - khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực đại tại x=a,  Nếu f '(x) đổi dấu từ - sang + khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực tiểu tại x=a. b. Định lý (Điều kiện đủ thứ 2) Giả sử f '(a) = f”(a) = .... = f(n-1)(a) = 0 và f(n)(a)  0 (nN và n2). Khi đó:  Nếu n là một số chẵn thì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x=a:  Hàm số đạt cực đại tại x=a nếu f(n)(a) < 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x=a nếu f(n)(a) < 0  Nếu n là một số lẻ thì hàm số y = f(x) không đạt cực trị tại x=a. 1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]. Nếu hàm số liên tục trên [a,b], theo Weierstrass, hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a,b]. Các điểm này hoặc là các điểm ngờ trong (a,b) hoặc 2 đầu mút a và b. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất (maxy), giá trị nhỏ nhất (miny) của hàm số trên [a,b], ta xét tập các giá trị của hàm số tại các điểm ngờ trong (a,b) và f(a), f(b). Sau đó, trên tập các giá trị vừa tìm đƣợc, ta chọn ra maxy và miny. 2. Ví dụ Tìm maxy, miny của y = x4 - 2x2 + 1 trong [-2, 2] 57 Ta tìm các điểm dừng trên (-2, 2) Cho y' = 0 hay 4x3 - 4x = 0 ta có x1 = 0, x2 = - 1, x3 = 1 và x1, x2, x3  (-2; 2) Tính: f(-2) = 9; f(2) = 9; f(1) = 0; f (-1) = 0 f(0) = 1; Vậy maxy = 9 và miny = 0 1.3. Bài toán tối ƣu Bài toán tối ƣu trong kinh tế là bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu các hàm kinh tế. Các hàm này đƣợc gọi là hàm mục tiêu. Chẳng hạn cần tìm cực tiểu của hàm chi phí C, tìm cực đại của hàm lợi nhuận  ,... 1. Cực tiểu giá thành Xét hàm C = C(Q) là hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm. C(Q) Khi đó hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = . Cần tìm mức sản xuất Q thích hợp, để hàm Q giá thành đạt cƣc tiểu. Muốn tìm điểm dừng Qo , ta giải phƣơng trình 1 C(Q) P'(Q) = 2 [C'(Q).Q - C(Q)] = 0  C '(Q) =  MC(Q) = P(Q) (*) Q Q Nhƣ vậy nghiệm Q0 của (*) là hoành độ giao điểm hai đƣờng MC(Q) và P(Q). Sử dụng điều kiện đủ để xét giá trị Qo có phải là điểm làm cho P đạt cực tiểu hay không. 2. Cực đại lợi nhuận Hàm lợi nhuận đƣợc tính là hiệu giữa hàm tổng doanh thu R và hàm tổng chi phí C:   R C Trên thị trƣờng cạnh tranh R = p.Q và C = C(Q) (p là giá bán một đơn vị sản phẩm, Q là số lƣợng sản xuất và bán đƣợc trên thị trƣờng). Ta có  = p.Q - C(Q) Khi đó cần tìm mức sản xuất Q để hàm  đạt cực đại. Chú thích  Điểm Q mà tại đó hàm  = 0 đƣợc gọi là điểm hòa vốn.  Nếu  >0 thì sản xuất có lãi, nếu  0) Khi đó hàm chi phí cận biên MC(Q) = C ' = 3Q2 - 24Q + 60 C Hàm giá thành P(Q) = AC(Q) =  Q2  12Q  60 Q P’= 2Q - 12 P’= 0  2Q - 12 = 0  Q = 6 P'= 2, P”(6) > 0. Vậy tại Q = 6 thì P đạt cực tiểu và P(6) = 62-12.6+60 = 24. Ta có: MC(6) = 3.62 -24.6 + 60 = 24 58 Điểm A(6, 24) (điểm cực tiểu của P(Q)) là giao điểm hai đồ thị hàm P(Q) và hàm MC(Q), hay đồ thị MC(Q) đi qua điểm cực tiểu của P(Q). 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN 2.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần Giả sử hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến độc lập trong miền D = { M(x1, x2,... ,xn): ai < xi < bi, i = 1, 2,... , n 1. Định nghĩa Ta nói rằng hàm số w = f (x1, x2,..., xn) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n   D nếu tồn tại số  >0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức f(x1, x2,... ,xn) < f( x1 , x 2 ,..., x n ) ( f(x1, x2,... ,xn) > f( x1 , x 2 ,..., x n ) ) đƣợc thỏa mãn tại mọi điểm M(x1, x2,... ,xn)  M  x1 , x 2 ,..., x n  của miền D có khoảng cách d(M, M ) <  . 2. Định lý Điều kiện cần để hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm M(x1 , x 2 ,..., x n )  D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:  w 'xi  fi  x1 , x 2 ,..., x n   0  (1) i  1, 2,..., n Điểm M thỏa mãn điều kiện (1) đƣợc gọi là điểm dừng của hàm số. 2.2. Điều kiệ ...