Giáo trình Toán ứng dụng trong kỹ thuật: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 giáo trình "Toán ứng dụng trong kỹ thuật" tiếp tục trình bày những kiến thức như: Hệ phương trình vi phân cấp 1; Phương trình vi phân cấp cao; Phương trình đạo hàm riêng; Phép biến đổi Fourier; Phép biến đổi Laplace;... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết giáo trình!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán ứng dụng trong kỹ thuật: Phần 2 Chương 8 IIP. HIƯƠNG TRÌN1I VI IMIẢN CÁP 1C huông 8 HỆ PHƯƠNG TRÌ NH VI PHẦN CÁP 1 Bài toán Caucliy đối với hệ phương trình vi phân cấp mộtphát biểu nhir sau: Tìm các nghiệm yi = cpi(x), y 2 = (P2(x), y„ = (pm(x) của hệthống pturơng trình yi = fi(x, yi, yi, ym) y ì = Í 2(x, yi, y2, ym) y m = fn(x, yi, Ỵ2 , y m) tlioà mãn các điều kiện đầu: yi(xo) = a i, y 2 (xo) = (X2, ym(x()) = a,n, Xo < X < X. Dùng các ký hiệu véc tơ: V ị/r í v ,’ì y2 /2 y 2 , a = «2 . / = . y = , y m, a m/hệ trên được viết lại dưới dạng: y = f(x, y), y(xo) = a , Xo < X < X. Vì thế ta vẫn có thể áp dụng các phương pháp đã trình bày ởChương 7 cho hệ thống các phương trình vi phân cấp một. Bài toán C auchy đối với hệ m phương trình vi phân cấp một:Với Xo < X < X,8.1 P h u o n g p h á p E u le r Với phương pháp số, bài toán C auchy cho hệ m phươngtrình vi phân cấp m ột được phát biểu như sau: Tìm nghiệm xấpxi cùa hệ thống m phương trình vi phân cấp một: yi = fi(x, yi, y2, ym) y 2 *= f 2 (x, yi, y2, y,„) (8.1.1) 145TOÁN ỨNG DỤNG TRO N G KỸ THUẬT ym = fm(x, yi, y 2 , ’ ym)trên miền [xo, X] thỏa mãn các điều kiện đầu: yi(xo) = yo.1, y 2 (xo) = yo.2 , y m(xo) = yo.m.Cho n là số tự nhiên dương, chúng ta ký hiệu X -x0 h = --------- , Xk = Xo + kh, yicj = yj(xk) n fkj = fj(xk, y u . y u , yt.m) , k = l..nj = l..m.8 . 1. 1 Nội dung phươ ng pháp a. Phương pháp Kuler Tương tự như phương trình vi phân cấp một, chúng ta thaycác đạo hàm cáp một của các hàm yj(x) tại Xk theo các công thứcsai phân tiến Chú ý đến các ký hiệu ở trên, ta có: yknj = y tj + hfkj, k = 0, 1, 2 , n-1, (8.1.2)trong đó các yo.1, yo,2 , .... yo.m là các giá trị khởi tạo đã biết. Cấp chính xác của phương pháp này là 0 (h). b. Phương pháp Iỉuler cải tiến Tương tụ như phương trình vi phân cấp một, chúng ta cócác công thức tính yk,j như sau: yk.ij(0) = ykj + hfkj, ykM,j(p 0 = ykj + ị [ f t J + f j ( x k+], y k+lị(p y k+ỵa(p ...,yk+iJ p))], Quá trình tính dừng khi ||yk+i(pH) - yt+i(p)|| < e, p = 0, 1,2, ...với ||.|| là chuẩn Euclid. Trong đó yo.1, yo,2 , .... yo,m là các giá trị khởi tạo đã cho. Sai số của phương pháp này là 0 ( h 2).146 C l n r ơ n g 8 l i p Il I Ư Ơ N G T R Ỉ N Ì 1 V I P H A N C Á P 1Ví dụ 8.Ì.1 Xét bài toán: í X = í + X + V , x ( 0 ) = l , y ( 0 ) - 0 , 0 < t < 0 . 3 , n = 3. [y = - 2 t + 3sin X Chúng la lập bang như bên dưới, ủ n g với mỗi k, cột vế tráiứng với x(p)k, cột bên phải úng với y(p)k. Các giá trị này được tínhđong thời tại mỗi birớc ứng theo chỉ số p. k 0 1 2 3 t 0 0.1 0.2 0.3 X y 1.0000 n.0 0 0 0 1.1238 0 2515 1.2974 0.5012 1.5259 0.7454fĩt.x .y ) p ( t x y ) 1.0000 2.5244 1.4752 2 5052 1.9986 2.4886 1.1000 0.2524 1.2713 0.5020 1.4973 0.7500 1.1226 0.2499 1.2962 0.5001 1.5247 0.7452 1.1236 0.2514 1.2973 0.5011 1.5259 0.7454 1.1238 0.2515 1.2974 0.5012 1.5259 0.7454 1.1238 0.2515 1.2974 0.5012H. J.2 S ư dụng MA TLAB a. Hàm odeseulerộ cài đặl theo ph ư ơ n g pháp lìuler Chúng ta viết hàm odeseulerQ tim nghiệm xấp xi của hệphương trình vi phân cấp một. Tham số f là m ột véc tơ mà thànhphần thứ j là m ột hàm ứng với vế phải fj(). Tham sổ yO cũng làmột véc tơ mà thành phần thứ j ứng với điều kiện đầu yoj. function [x y] = odeseuler(f, xO, X, yO, n) h = (X-xO)/n; X= xO:h:X; y(1.:) = y0; fork = 1:n ...